por favor resuelve un 2013 th derivado de la pregunta?

Question

$ f(x) = 6x^7\sin^2(x^{1000}) e^{x^2} $

Encontrar $ f^{(2013)}(0) $

Matemáticas foro amigo me sugieren el uso de big O, sin embargo, el símbolo no tiene idea de lo que es, así que, ¿cómo ayudar?

Answer 1

Tenga en cuenta que,

$$ 6\,x^{7} \sin\left(x^{1000}\right)\sin\left(x^{1000}\right)e^{x^2} $$

$$ = 6\,x^{7} \left( x^{1000}-\frac{x^{3000}}{3!}+\puntos \right)\left( x^{1000}-\frac{x^{3000}}{3!}+\puntos \right)\left(1+\frac{x^2}{1!}+\frac{x^4}{4!}+\puntos\right) $$

$$ = 6x^7x^{2000}\left( 1-\frac{x^{2000}}{3!} +\puntos\right)^2\left(1+\frac{x^2}{1!}+\frac{x^4}{2!}+\puntos\right) $$

$$ = 6x^{2007}\left(1+\frac{x^2}{1!}+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\puntos\right)\left( 1-\frac{x^{2000}}{3!} +\puntos\right)^2 $$

Ahora bien, es claro que el coeficiente de $x^{2013}$ es $1$, lo cual implica que

$$ \frac{f^{(2013)}(0)}{(2013)!} = 1 \implica f^{(2013)}(0)=(2013)!. $$

Answer 2

Sugerencia:

Considere la posibilidad de la expansión de Taylor de $f$