¿Qué es este límite se llama? Es un tipo diferente de la derivada?

Question

(en primer lugar debo aviso que esto no es algo que me puede buscar en un libro de texto, porque estoy aprendiendo derivadas parciales, igual que yo hago con la mayoría de las Matemáticas, como un hobby. Si algo por debajo de la que está mal, la culpa la tiene internet y por favor, hágamelo saber)

Sé que puedo tomar una mezcla de derivada parcial de una multi-argumento de la función, para expl.:

$$ w = f(x; y; z) = x^2 y+ y^2z + xz^2\\ \frac{\partial^2 w}{\partial x\ \partial y} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy+z^2)= 2x = ^*\frac{\partial}{\partial x}(2yz+x^2) $$ (* = el doble check)

Pero eso de tomar 2 derivadas parciales. ¿Y Si quiero más de una variable para variar a la vez? $$ \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(x+h, y+h;z)-f(x;y;z)}{h}\right)=\\ =\lim_{h \to 0} \left( \frac{(x+h)^2 (y+h)+(y+h)^2 z+(x+h)^2z^2-x^2 y+ y^2z + xz^2)}{h}\right)=\\ =\lim_{h \to 0} \left( \frac{(x^2+2xh+h^2)(y+h)+(y^2+2hy+h^2) z+(x+h)z^2-x^2 y+ y^2z + xz^2)}{h}\right)=\\ =\lim_{h \to 0} \left( \frac{2hxy+h^2y+hx^2+h^2x+h^3+2hyz+h^2z+hz^2}{h}\right)=\\ =\lim_{h \to 0} \left( 2xy+hy+x^2+hx+h^2+2yz+hz+z^2\right) =2xy+x^2+2yz+z^2 $$

Nota: he tomado un tiempo para escribir esto, y sólo ahora me doy cuenta de que el resultado de la anterior es la suma de $\frac{\partial w}{\partial x}$$\frac{\partial w}{\partial y}$, mientras que la mezcla de parcial en el principio, su multiplicación

Sin embargo, la pregunta sigue siendo: ¿qué es este límite se llama? Puede ser considerada como otro tipo de derivados? ¿Cuáles son sus aplicaciones? Existe una notación en la que puedo escribir es como el de otros derivados?

Gracias a los lectores por adelantado (y para la lectura, mis preguntas no son por lo general de corta).

Answer 1

Para que, lo que estamos viendo es un caso especial de una derivada direccional de una función de$\mathbb{R}^n$$\mathbb{R}$, es decir, un derivado lo largo de una dirección (vector) $d$. En general, aquellos que se definen como $$ f_d(x) = \lim_{t\to 0} \frac{f(x+td) - f(x)}{t} \text{,} $$ donde$x,d \in \mathbb{R}^n$$t \in \mathbb{R}$. Has mirado en el caso especial $d=(1,1,0)$, yo.d. deja que el primero y el segundo argumento varían simultáneamente y la tercera no en todos.

A veces (o, a menudo, dependiendo de qué funciones de trabajar con), las derivadas direccionales son un lineal de la función de la dirección. En ese caso, la función se llama simplemente diferenciable. En otras palabras, se tiene que $$ f_{u+v}(x) = f_{u}(x) + f_{v}(x) \text{.} $$ Si eso es así, entonces es suficiente para saber por ejemplo, los derivados en la dirección de todos los ejes para calcular cualquier derivada direccional. Debido a que los derivados en la dirección de los ejes, que son simplemente los dolores de derivadas parciales, esto significa que en este caso $$ f_{d} = \sum_{i=1}^n d_i \frac{\partial f}{\partial x_i} \quad\text{suponiendo que}\quad d = (d_1,\ldots,d_n). $$ Que es exactamente lo que has encontrado - calculado $f_{(1,1,0)}$ y lo encontré $1\frac{\partial f}{\partial x} + 1\frac{\partial f}{\partial y} + 0\frac{\partial f}{\partial z}$.

Si esto funciona, es personalizado para organizar las derivadas parciales en un vector (o matriz, si la función también produce varios valores). La derivada de una función $f \,:\, \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es por lo tanto el vector $$ \frac{df}{dx} = f' = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right). $$ De manera similar al caso unidimensional, a continuación, puede aproximar $f$ $x$ (tenga en cuenta que $\cdot$ es el producto escalar!) $$ f(x+d) \aprox f(x) + f'(x)\cdot d \text{.} $$

Tenga en cuenta que esto no siempre funciona, por ejemplo, es de $$ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} &\text{if %#%#%} \\ 0 &\text{otherwise} \end{casos} $$ en $(x,y)\neq(0,0)$. Ambas derivadas parciales se $(0,0)$$0$, sin embargo, la derivada en la dirección $(0,0)$ no lo es. Esta función, por lo tanto se dice que no es diferenciable en a $(1,1)$, aunque las derivadas parciales ¿ existe. Pero no, transmiten toda la información que hay que saber acerca de la función del comportamiento alrededor de $(0,0)$.