Cuando es la extensión se define por una Eisenstein polinomio galoisian o abelian o cíclico ?

Question

Deje $p$ ser un número primo, $K$ de un número finito de extensión de $\mathbb{Q}_p$, $\mathfrak{o}$ su anillo de enteros, $\mathfrak{p}$ el único ideal maximal de $\mathfrak{o}$, $k=\mathfrak{o}/\mathfrak{p}$ el residuo de campo, y $q=\operatorname{Card} k$.

Recordemos que un polinomio $\varphi=T^n+c_{n-1}T^{n-1}+\cdots+c_1T+c_0$ ($n>0$) en $K[T]$ se dice Eisenstein si $c_i\in\mathfrak{p}$ $i\in[0,n[$ e si $c_0\notin\mathfrak{p}^2$.

Pregunta. Cuando es la extensión de $L_\varphi$ definido por $\varphi$ galoisian (resp. abelian, resp. cíclica)$K$ ?

De fondo. Cada Eisenstein polymonial $\varphi$ es irreductible, la extensión de $L_\varphi=K[T]/\varphi K[T]$ es totalmente ramificado $K$, y cada raíz de $\varphi$ $L_\varphi$ es un uniformiser de $L_\varphi$. Hay una conversación.

Si el grado $n$ $\varphi$ es el primer a $p$, entonces la extensión de $L_\varphi|K$ está confiando inocentemente se ramificó y puede ser definida por el polinomio $T^n-\pi$ para algunos uniformiser $\pi$$K$. Por lo tanto $L_\varphi|K$ es galoisian si y sólo si $n|q-1$, y, cuando tal es el caso, $L_\varphi|K$ es en realidad cíclica.

Pregunta Real. Hay un criterio similar, en el caso de $n=p^m$ es una potencia de $p$, para decidir si $L_\varphi|K$ es galoisian (resp. abelian, resp. cíclica) ?

Answer 1

En el caso de que el campo de tierra $K$$\mathbb{Q}_p$, algunos de los antiguos trabajo de Lbekkouri recientemente se ha publicado aquí. En particular, para el caso concreto, es decir, para un finito totalmente salvajemente ramificado extensiones de $\mathbb{Q}_p$, la normalidad es equivalente a la ciclicidad. Además:

Al $n=p$, esta fue respondida por el Mineral en los años 30: la extensión es normal si y sólo si $p^2|c_j$$1\leq j\leq p-2$$p^2|(c_0+c_{p-1})$.

Al $n=p^2$, Lbekkouri da una lista de lo necesario y suficiente congruencia condiciones sobre los coeficientes $c_j$.

De manera más general para $n=p^m$, que da algunas condiciones necesarias, pero dado que los métodos que requieren detallada de los cálculos con la ramificación de la filtración, parece poco probable que uno podría extender las condiciones suficientes mucho más allá de la $p^2$ de los casos.

Answer 2

Sucede que me han llegado a través de una temprana papel de Jean-Marc Fontaine --- al parecer, su primer papel --- en el que se trata de un caso especial del problema: la Proposición 3 da un criterio para la (totalmente ramificada) la extensión se define por una Eisenstein polinomio de $p$-potencia grado de ser galoisian con una única ramificación de rotura ($>0$).