Real VS Complejo para las integrales: $\int_0^\infty \frac{dx}{1 + x^3}$

Question

La integral $$\int_0^\infty \frac{dx}{1 + x^4} = \frac{\pi}{2\sqrt2}$$ puede ser evaluado tanto por un método complejo (residuos) y por un método real (parcial fracción de descomposición). El complejo método funciona también para la integral $$\int_0^\infty \frac{dx}{1 + x^3} = \frac{2\pi}{3\sqrt3}$$ pero parcial de la fracción de descomposición no da convergente integrales. Me gustaría saber si hay algún método real para la evaluación de esta última integral.

Answer 1

Hacer la sustitución $x = \frac{1}{t}$ y se obtiene

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{t}{1+t^3} \text{d}t$$

Escribo lo que desea como

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+t^3} \text{d}t$$

Ahora usted puede agregar tanto y cancelar ese molesto $1+t$ factor.

por cierto, un sencillo método de fracciones parciales también funciona.

Considere

$$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^3} \text{d}t$$

El uso de fracciones parciales usted puede encontrar que (yo usé Wolfram Alpha, lo admito)

$$F(x) = \frac{1}{6}\left(2\log(x+1) - \log(x^2 - x -1) + 2\sqrt{3} \arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)\right) + \frac{\pi}{6\sqrt{3}}$$

Ahora como $x \to \infty$,$2\log(x+1) - \log(x^2 - x + 1) \to 0$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que para $a > 0$, $$\int_0^N \frac{1}{x+a}\ dx = \ln(N+a) - \ln(a) = \ln(N) - \ln(a) + o(1)\ \text{as} \ N \to \infty$$ mientras $$\eqalign{\int_0^N \frac{x+a}{(x+a)^2 + b^2}\ dx &= \frac{1}{2} \left(\ln((N+a)^2+b^2) - \ln(a^2+b^2)\right)\cr &= \ln(N) - \ln(a^2+b^2) + o(1) \ \text{as} \ N \to \infty\cr}$$ y (si $b > 0$) $$ \eqalign{\int_0^N \frac{1}{(x+a)^2+b^2}\ dx = \frac{\arctan\left(\frac{N+a}{b}\right) - \arctan\left(\frac{a}{b}\right)}{b} = \frac{\pi}{2b} - \frac{\arctan\left(\frac{a}{b}\right)}{b} + o(1) \ \text{como} \ N \to \infty\cr}$$ En particular, a partir de la fracción parcial de la descomposición $$ \frac{1}{1+x^3} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{(2-x)/3}{x^2 - x + 1} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{1/2}{(x-1/2)^2+3/4} - \frac{(x-1/2)/3}{(x-1/2)^2 + 3/4}$$ usted obtener $$ \int_0^N \frac{1}{1+x^3} \ dx = \frac{\ln(N) - \ln(1))}{3} + \frac{\pi/2 + \arctan(1/\sqrt{3})}{\sqrt{3}} - \frac{\ln(N) - \ln((1/2)^2 + 3/4)}{3} + o(1)$$ es decir, $$\int_0^\infty \frac{1}{1+x^3} \ dx = \frac{\pi}{\sqrt{3}} + \frac{\arctan(1/\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = \frac{2 \pi}{3 \sqrt{3}}$$

Answer 3

Por lo que vale la pena:

Su integral se evalúa en términos de la función seno:

$$\int\limits_0^\infty \frac{1}{1+x^a}=\frac{\pi}{a}\sec\frac{\pi}{a}$$

se refieren a esta cuestión y el enlace.

Answer 4

Me gustaría saber si hay algún método real para la evaluación de esta última integral.

En realidad, todas las integrales de la forma $\displaystyle\int_0^\infty\frac{x^n}{1+x^m}dx$ puede ser resuelto mediante la sustitución de $t=\dfrac1{1+x^m}$ , y, a continuación, reconociendo la expresión de la función beta de la nueva integral, que se puede escribir como un producto de funciones gamma. A continuación, se utiliza la reflexión de la fórmula , para finalmente llegar al resultado deseado, $I=\dfrac\pi m\cdot\csc\left[(n+1)\dfrac\pi m\right]$ — Ver mi respuesta aquí para obtener más información.