Dado un contable para colorear de el plano, es siempre posible encontrar un monocromático conjunto de puntos de $\left\{ \left(x,y\right),\left(x+w,y\right),\left(x,y+h\right),\left(x+w,y+h\right)\right\} $ (las esquinas de un rectángulo)?
Respuestas
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Esto es equivalente a CH.
Citando a "los Problemas y Teoremas Clásicos de la Teoría de conjuntos" por Komjath y Totik, capítulo 16, Continuum hipótesis:
CH tiene si y sólo si el avión puede ser descompuesto en countably muchas partes ninguno contiene 4 diferentes puntos a,b,c,d tal que dist(a,b)=dist(c,d)
Este es un requisito más fuerte de su problema, por lo que suponiendo CH la respuesta es no. Su solución, suponiendo que CH es falso, demuestra que hay un monocromático rectángulo.
La versión anterior, con el agregado de explicación acerca de Hamel base:
El uso de
CH tiene si y sólo si R puede ser de color por countably muchos colores tales que la ecuación x+y=u+v no tiene solución con distintos x,y,u,v del mismo color.
Esto le da una respuesta negativa suponiendo CH. Explicación: considerar R como espacio vectorial sobre Q. Dejar que Un ser cierta base. Tomar cualquier bijection A -> a + a, donde + es distinto de la suma. Se induce un isomorfismo lineal f: R -> R * R. (Se puede pensar que hay un isomorfismo lineal entre los reales y los complejos si que ayuda.) Entonces, si te han dado un monocromático rectángulo a=(x1, y1), b=(x1+x2, y1), c=(x1, y1+y2), d=(x1+x2, y1+y2), sin duda a+d=b+c. El uso que isomorfismo, f(a)+f(d)=f(b)+f(c) da un monocromático solución de la citada ecuación.
Joel Coel
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Echa un vistazo a este sitio: http://blog.computationalcomplexity.org/2009/11/17x17-challenge-worth-28900-this-is-not.html
