La primera instrucción es equiconsistent con $\sf ZF$, sin grandes cardenales. La prueba es debido a Spector,
Mitchell Spector, El $\kappa $-cerrado ilimitado de filtros y supercompact cardenales, J. la Lógica Simbólica 46 (1981), no. 1, 31--40.
El esquema del modelo no es difícil. Considere la posibilidad de $\Bbb P$ a ser el forzamiento de la que es el de la lotería de la suma de todos los forzamientos que añadir un club en una estacionaria $S$ que es co-estacionario. Ahora itera $\Bbb P$ sí $\omega$ veces con finito de apoyo (cada paso de re-cálculo de $\Bbb P$, por supuesto), y considere el modelo definibles por delimitada pasos de la iteración.
Ya que no hemos colapso $\omega_1$ en cualquier delimitada paso, sigue siendo habitual en este modelo, y podemos demostrar que cualquier conjunto estacionario en este modelo se añadió en un almacén de el paso, así que por genericity fue elegido por la lotería de la suma para tener su complemento se convierten en no-estacionaria, por lo que contiene un club.
Curiosamente, la intersección de a $\omega$ clubes es todavía un club, pero dado $\omega$ conjuntos, usted no puede elegir un club subconjunto de cada uno de manera uniforme. De modo que el filtro no es $\sigma$-cerrado debido a que.
Una vez que usted quiere asumir $\sf DC$ en la mezcla, el club de filtro debe convertirse en un $\sigma$-filtro cerrado, por lo que necesitamos más. Al menos una de medir, pero, en realidad, más. En el documento mencionado Spector demuestra de una supercompact cardenal.
Mitchell y Martin muestran que esto requiere más que sólo un cardinal medible, mostrando que para cada una de las $\delta<\omega_1$ esta declaración implica un interior modelo con $\delta$ medibles cardenales.
D. A. Martin y W. Mitchell, En la ultrafilter de cerrado, sin límites conjuntos, J. la Lógica Simbólica 44 (1979), no. 4, 503--506.
Mitchell mismo dio una cota superior de a $\kappa$ medibles con $o(\kappa)=\kappa^{++}$,
Mitchell, William, ¡Cuán débil es un cerrado sin límites ultrafilter?, La lógica Coloquio de los '80 (Praga, 1980), pp 209-230. (MR673794)
Me dijeron que esta tarde fue mejorado a $o(\kappa)=\kappa^+$, pero no puedo encontrar una referencia en este momento.
Cabe recordar que la consistencia de que exista un countably medida completa en algunos ordinal $\kappa$ es de hecho un medibles. Incluso podemos llegar a ser $\omega_1$, como Jech mostró en su papel,
T. Jech, $\omega _{1}$ puede ser medibles, Israel J. Math. 6 (1968), 363--367 (1969).
Pero todavía hay una gran distancia entre una medida en $\omega_1$, a tener que medir como el club de filtro.
Quizás este sería un buen lugar para señalar que es equiconsistent con $\sf ZFC$ que es un conjunto infinito con un countably completa ultrafilter. Por otra parte, podemos tener este ultrafilter ser el cofinite filtro. También podemos tener, sin consistencia fuerza de un countably cerrado ultrafilter en un conjunto con $\sf ZF+DC$, y de nuevo podemos organizar para ser la cocountable filtro.
Este proceso puede continuar, pero debe señalarse que estos conjuntos no está disponible en todos los. Y esto hace que el uso de sus ultrafilters para "habitual a los efectos de" un poco irrelevante.
