¿Por qué no $0$ siendo un alojamiento ideal en $\mathbb Z$ implica que $0$ es un número primo?

Question

Sé que $1$ no es un número primo porque $1\cdot\mathbb Z=\mathbb Z$ es, por convención, no un alojamiento ideal en el anillo de $\mathbb Z$.

Sin embargo, dado que $\mathbb Z$ es un dominio, $0\cdot\mathbb Z=0$ es un alojamiento ideal en $\mathbb Z$. No $(p)$ ser un primer ideal de la definición misma de $p$ ser un primer elemento?

(Sé que esto violaría el Teorema Fundamental de la Aritmética.)

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Editar: Al parecer, la respuesta es que un primer elemento de un anillo es, por convención, un no-cero no-unidad (ver wikipedia).

Esto es extraño, porque el primer ideal de un anillo es, por convención, un verdadero ideal, pero no necesariamente distinto de cero (ver wikipedia).

Entonces, mi pregunta ahora es: ¿por Qué hacemos este torpe convención?

Answer 1

Usted tiene un punto aquí: absolutamente queremos contar $(0)$ como un alojamiento ideal en $\mathbb{Z}$ -- debido a que $\mathbb{Z}$ es una parte integral de dominio, mientras que la hacemos no quiere contar $(1)$ de como ser un buen ideal, porque el cero del anillo no es una integral de dominio (lo que, para mí, es mucho más que un hecho cierto que una convención: por ejemplo, cada integrante de dominio tiene un campo de fracciones, y el cero del anillo no).

Creo que no quiero llamar $0$ un primer elemento porque, en la práctica, no queremos incluir $0$ en la divisibilidad de los argumentos. Otra forma de decir esto es que por lo general quieren estudiar factorización integral de los dominios, pero una vez que hemos especificado que un anillo conmutativo $R$ es un dominio, sabemos todo lo que hay que saber sobre el factoring $0$: $0 = x_1, \cdots x_n$ fib, al menos, uno de $x_i = 0$.

Aquí es una manera de hacer esto ", ignorando $0$" convención de aspecto más natural: las nociones de factorización, el primer elemento irreductible elemento, y así sucesivamente en una integral de dominio $R$ depender totalmente de la estructura multiplicativa de $R$. Por lo tanto, podemos pensar en la factorización de preguntas como las que tienen lugar en el cancellative monoid $(R \setminus 0,\cdot)$. (Cancellative significa: si $x \cdot y = x \cdot z$, entonces $ $ y = z$.) En este contexto es natural para excluir a cero, porque de lo contrario el monoid no sería cancellative. Contemporáneo algebraists a menudo se piensa en la factorización como una propiedad de monoids en lugar de integral dominios de por sí. Para un poco más de información sobre esto, véase, por ejemplo, la Sección 4.1 de http://math.uga.edu/~pete/factorization2010.pdf.

Answer 2

Hay buenas razones detrás de la convención de incluyendo $(0)$ como un primer ideal pero la exclusión de $(1)\:.\ $ En primer lugar, hemos de incluir el cero como un primer ideal, ya que facilita muchas de las reducciones. Por ejemplo, en muchos anillo teórica de los problemas que implican un ideal $\rm\; I\;$, se puede reducir al caso $\rm\;I = P\;$ prime, luego reducir a $\rm\;R/P\;$, lo que reduce al caso cuando el anillo es un dominio. En este caso se dice simplemente que podemos factor a cabo por el primer $\rm\; P\;$, por lo que w.l.o.g. se asume que $\rm\; P = 0\;$ es primo, por lo que $\rm\:I\:$ es un dominio. Por ejemplo, he anexado al final de este post un extracto de Kaplansky del clásico libro de texto Conmutativa de los Anillos, la sección 1-3: G-Ideales, Hilbert Anillos, y el Nullstellensatz.

Así tenemos evidencia sólida sobre la utilidad de la convención que el cero ideal es principal. Así que ¿por qué no adoptamos la misma convención para la unidad ideal de $(1)$ o, equivalentemente, ¿por qué no podemos permitir que el cero del anillo como un dominio? Hay un número de razones. En primer lugar, en los dominios y campos que a menudo resulta muy conveniente asumir que uno tiene un valor distinto de cero elemento disponible. Esto permite que las pruebas por la contradicción a la conclusión de deducir $\:1 = 0\:.\ $ Lo que es más importante, implica que el grupo de la unidad es no vacío, por lo que la unidad de los grupos de existir siempre. Sería muy incómodo tener que añadir siempre la condición (excepto si $\;\rm R = 0\;)$ a el muchos de los argumentos que involucran a las unidades y grupos de unidades. Para una perspectiva más general vale la pena destacar que las reglas habituales de la lógica ecuacional no están completas para vaciar las estructuras es por eso que los grupos y otras estructuras algebraicas son siempre axiomatized para evitar el vacío de las estructuras (ver este hilo para más detalles).

Abajo está la prometida Kaplansky extracto sobre la reducción de los dominios por factorizando el primer ideales. He explícitamente hincapié en las reducciones por ejemplo, reducir a la....

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Deje que $\rm\; I\;$ ser cualquier ideal en un anillo de $\rm\; R\;$. Escribimos $\rm\; R^{*}\;$ para el cociente del anillo $\rm\; R/I\;$. En el polinomio anillo $\rm\; R[x]\;$ hay una pequeña extensión de $\rm\; IR[x]\;$ de $\rm\; I\;.\ $ El cociente del anillo $\rm\; R[x]/IR[x]\;$ es de una manera natural isomorfo a $\rm\; R^*[x].\;$ En el tratamiento de muchos problemas, podemos de esta manera a reducir, para el caso de que $\rm\; I = 0\;$, y a menudo vamos a hacerlo.

TEOREMA 28. $\:$ Deja que $\rm\ M\:$ ser un ideal maximal en $\rm\: R[x]\:$ y supongamos que la contracción de $\rm\: M \cap R = N\:$ es máxima en $\rm\; R\:.\ $ Entonces $\rm\; M\;$ puede ser generada por $\rm\; N\;$ y uno de los elementos de $\rm\; f\:.\ $ Podemos $\rm\; f\;$ a ser un monic polinomio que los mapas mod $\rm\; N\;$ en un polinomio irreducible sobre el campo $\rm\; R/N\:.\ $

Prueba. $\:$ Podemos reducir, para el caso de que $\rm\; N = 0,\;$ i. e., $\rm\; R\;$ un campo y, a continuación, la declaración es inmediata.

TEOREMA 31. $\;$ Un anillo conmutativo $\rm\; R\;\;$ es un anillo de Hilbert si y solo si el polinomio anillo $\rm\; R[x] \;\;$ es un anillo de Hilbert.

Prueba. $\;$ Si $\rm\; \;\rm R[x]\;$ es un anillo de Hilbert, por lo que es su imagen homomórfica $\rm\; R\;$. Por el contrario, supongamos que $\rm\; R\;$ es un anillo de Hilbert. Tomar un G-ideal $\rm\; Q\;$ en $\rm\; R[x]\;$; debemos demostrar que $\rm\; Q\;$ es máxima. Deje que $\rm\; P = Q \cap R\;$; podemos reducir el problema al caso $\rm\; P = 0\;$, lo que, dicho sea de paso, hace que $\rm\; R\;$ un dominio. Deje que $\rm\; u\;$ ser la imagen de $\rm\; x\;$ en el natural homomorphism $\rm\; R[x] \R[x]/P\;$. Entonces $\rm\; R[u]\;$ G es un dominio. Por el Teorema 23, $\rm\:u\:$ es algebraico sobre $\rm\:I\:$ y $\rm\:I\:$ G es un dominio. Desde $\rm\:I\:$ es un G-dominio y un anillo de Hilbert, $\rm\:I\:$ es un campo. Pero esto hace que $\rm\; R[u] = R[x]/P\;$ un campo, demostrando $\rm\; Q\;$ a ser máxima.

Answer 3

Por lo general, nos hacen agradable convenios porque hacen que las declaraciones de los teoremas de niza. El teorema correspondiente al primer ideales es que $P$ es un primer ideal de $R$ si y sólo si $R/P$ es una parte integral de dominio. El teorema correspondiente a los elementos principales es la factorización prima (cuando se tiene).

Estos dos conceptos casi coinciden para los principales ideales, pero debemos distinguir entre la genérica punto $(0)$ y cerrada puntos, y hay buenas razones para hacer esto. (El cero ideal, por ejemplo, no puede ocurrir en la factorización de un ideal distinto de cero en un dominio de Dedekind.)