En la geometría algebraica, ¿cómo explícitamente encontrar la estricta transformar?

Question

Deje $X = Z(xy - zw)$$\mathbb{A}^4$$Y = Z(x, z)$. Si $\pi: B \rightarrow \mathbb{A}^4$ es el golpe de $Y$, entonces ¿cómo puedo encontrar el estricto transformación de $X$ y el divisor excepcional?

No tengo ni la menor idea de cómo encontrar el estricto transformar en este caso. Sólo estoy bastante cómodo con la voladura de un solo punto. Esto es lo que tengo hasta ahora, reunidos a partir de azar notas de la conferencia. Sólo trata del divisor excepcional y es bastante desordenado:

Deje $E = \pi^{-1}(Y)$$J = I(Y) = (x, z)$. Por El Teorema De 14.7, $B(J) = U_1 \cup U_2$ donde $U_1, U_2$ son afines y $\mathcal{O}_{B(J)}(U_1) = k[\mathbb{A}^{4}][z/x] = k[x, y, z/x]$, $\mathcal{O}_{B(J)}(U_2) = k[\mathbb{A}^{4}][x/z] = k[y, z, x/z].$ Tenemos $x = 0$ es un local ecuación de $E$ en $U_1$, $z = 0$ es un local ecuación de $E$$U_2$, y $k[E \cap U_1] = k[x, y, z/x]/(x)k[x, y, z/x] = k[y, z/x]$, $k[E \cap U_2] = k[y, z, x/z]/(x)k[y, z, x/z] = k[y, x/z].$ (no reconozco lo que esto significa sobre $E$, pero $E \ = \mathbb{Un}^{2}$. Random guess: $E$ is the subset of $\mathbb{P}^{2}$, con coordenadas $x, y, z$ descrito por $(x : xy : z)$ algunos $(x, y, z) \in U_1$ y $(x : yz : z)$ algunos $(x, y, z) \in U_2$. El uso de $U_1 \cap E = Z(J\mathcal{S}_{B(J)}(U_1)) = Z(x)$ and $U_2 \cap E = Z(J\mathcal{S}_{B(J)}(U_2)) = Z(z)$, we get $E = \{(x : 0 : z) \mid x \in \pi_1(U_1), z \in \pi_3(U_2)\}$ . . . )

Answer 1

(Lo siento por no usar las notaciones, yo prefiero usar el estándar : X la base de opciones, a y B son para los anillos, Z es un centro, etc.)

Usted tiene una variedad afín $X=\operatorname{Spec}A$, y un conjunto cerrado $Z$ $X$ dado por un ideal $I$$A$. Considere el golpe de $\epsilon : Y \to X$ $X$ de centro $Z$.

Elegir un generador de $I$, decir $(f_1,\dotsc,f_n)$. A continuación, $Y$ está cubierto por la afín a los gráficos de $U_i = \operatorname{B_i}$,$B_i = B[I/f_i]$, es decir,$B[f_1/f,\dotsc,f_n/f]$. Usted puede pensar cosa anillo como un sub-anillo del total de su anillo de fracciones, si $f$ no es un divisor de cero.

Ahora considere el $W$ una hipersuperficie de $X$, definido por una ecuación de $h\in A$. El pull-back de $W$ en el gráfico de $U_i$ $Y$ está dado por el ideal de la $B_i$ generado por $h$. En el gráfico de $U_i$, la excepcional divisor es dado por $f_i$. (Es una hipersuperficie, en un sentido, esta es la característica universal de la soplar-hacia arriba).

En $B_i$, factor de $h$$f_i^n h_0$, $n$ un entero no negativo y máxima. A continuación, $h_0$ es la ecuación de la recta de transformación de $W$.

Hay un caso donde el cálculo es particularmente fácil : $X$ es el espacio afín $\mathbb A^n = \operatorname{Spec} k[x_1,\dotsc,x_n]$ $Z$ está dado por el ideal de la $(x_1,\dotsc,x_p)$. Cada gráfico de la explosión de la misma es isomorfo al espacio afín $\mathbb A^n$. De hecho, el anillo de $$ k[x_1,\dotsc,x_n][x_1/x_k,\dotsc,x_p/x_k] $$ is isomorphic to the ring $k[y_1,\dotsc,y_n]$ by with $y_i\mapsto x_i/x_k$ if $i\leq p$ and $i\neq k$, and with $y_i\mapsto x_i$ si no.

Considere la posibilidad de $h$, la ecuación de $W$, e $k$ su orden a lo largo de $Z$ - es decir, el menor entero $p$ tal que $h$ es distinto de cero monom con total grado de $p$ con respecto a las variables $x_1,\dotsc,x_n$.

En $B_p$ (y es similar en los otros $B_i$'s) , escribe $h$ $h$ $$ h\left(x_p \frac{x_1}{x_p}\dotsc,x_p\frac{x_{p-1}}{x_p},x_p,\dotsc,x_n\right).$$ Uno fácilmente que $x_p$ factores con un exponente $k$. Lo que queda es la ecuación de la recta de transformación.

En su ejemplo,$h$$x y-z w$, y estamos volando $(x,z)$. En el gráfico de $U_x$, tenemos $$ x y-z w = x y - x\frac zx w = x(y-\frac zx w)$$