Deje $n \ge 2$ ser incluso, y $a$ ser cualquier número entero. Me gustaría mostrar que $$x^2 + 3x + a \equiv 0 \mod n$$ tiene un número de soluciones.
No estoy seguro de cómo empezar. Yo estaba pensando en la inducción, pero no consiguió nada.
Respuestas
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user8269
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Rob Dickerson
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Aquí es cómo lo resolvería.
En primer lugar, por el teorema del resto Chino, es suficiente para mostrar que $f(x) = x^2+3x+a$ tiene un número de soluciones de mod $2^m$. De hecho, esta ecuación tiene 0 o 2 soluciones, que voy a probar por inducción.
Para $m=1$, claramente $f(x)\equiv 0$ 0 o 2 soluciones, dependiendo de la paridad de $a$.
Ahora supongamos $r$ es una solución de $f(x)\equiv 0 \pmod {2^{m-1}}$. Entonces existe una y sólo una solución de $s$$f(s) \equiv 0 \pmod {2^m}$$s\equiv r \pmod {2^{m-1}}$. De hecho, $$(r+2^{m-1}k)^2+3(r+2^{m-1}k)+a\equiv (r^2 + 3r + a) + 2^{m-1}k \equiv 0 \pmod{2^m}$$ tiene exactamente una de $k=0,1$ dependiendo de la paridad de $(r^2+3r+a)/2^{m-1}.$
