Pregunta: estoy tratando de mostrar que si $M$ $N$ son suaves colectores (sin límite), y $$F:M\to N$$ es un buen incrustación, entonces el diferencial $$dF:TM\to TN,\quad dF(p,v)=(F(p),dF_p(v))$$ es también un suave incrustación.
En particular, esto muestra que una incrustado submanifold de un buen colector da lugar a una incrustado submanifold de la tangente en su conjunto, en una forma natural.
No es difícil mostrar que $dF$ es un buen inmersión. De hecho, se ha de coordinar las representaciones de la forma $$dF(x,v)=(F(x),DF(x)v),\quad(x,v)\in \hat{U}\times\mathbb{R}^m\subseteq\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^m$$ así $$D(dF)(x,v)=\begin{pmatrix}DF(x) & 0 \\ \ast & DF(x) \end{pmatrix},$$ lo que tiene rango completo desde $DF(x)$ tiene rango completo. Por lo tanto, nosotros al menos tenemos ese $dF(TM)$ es un inmersos submanifold de $TN$.
Pero ahora estoy atascado en demostrar que las $dF$ es un topológica de la incrustación. Es claramente inyectiva, por lo que la inversa $$(dF)^{-1}:dF(TM)\to TM$$ existe. Pero, ¿cómo demostrar que es continua?
Definiciones: Aquí "suave" significa $C^\infty$. La suposición de que $F$ es un suave incrustación significa que $F$ es un suave inmersión (es decir, $dF_p:T_pM\to T_{F(p)}N$ es inyectiva en cada una de las $p\in M$) y que $F$ es una incrustación de objetos (es decir, $F:M\to F(M)$ es un homeomorphism al $F(M)$ es dado el subespacio de la topología heredada de $TN$).
