Expresiones que evalúan simultáneamente a los palíndromos

Question

Tengo curiosidad por la validez de mi afirmación sobre las expresiones

$$\eqalign{E_1&:=(2k-1)t+1, \cr E_2&:=(2k^2-2k)t+(2k-1),\cr}$$

donde $k=2,3,4,...$

Mi afirmación es que para casi todos los $k$ (o para infinitos $k$ ) existe un número entero positivo $t$ tal que para este $t$ las dos expresiones se evalúan simultáneamente a un palíndromo cuando se escriben en decimal.

Por ejemplo, cuando $k=3$ y $t=13$ entonces $E_1=66$ y $E_2=161$ . Si $k=4$ y $t=46$ entonces $E_1=323$ y $E_2=1111$ . Lo mismo ocurre cuando $k=7,8$ .

¿Es cierta mi afirmación? También cualquier sugerencia para la prueba de mi reclamo si es cierto será muy apreciada.

Answer 1

Estimemos un muy probabilidad aproximada, sólo usando el hecho de que hay alrededor de $10^{n/2}$ palíndromos de longitud $n$ , por lo que la densidad de palíndromos en torno a un número grande $N$ escalas como $1/\sqrt{N}$ . Si se arregla $k$ entonces estás buscando un palíndromo alrededor de $2kt$ y otro alrededor de $2k^2 t$ para algunos $t$ . Para un determinado $t$ Esto puede ocurrir con una probabilidad de alrededor de $(2kt)^{-1/2}(2k^2 t)^{-1/2}=(1/2) k^{-3/2} t^{-1}$ . Porque la suma de esta probabilidad sobre todos los $t$ diverge (logarítmicamente), es probable que algunos valor de $t$ producirá un doble palíndromo sólo por casualidad. Sin embargo, como $k$ se hace más grande, es de esperar que tenga que buscar valores cada vez más grandes para $t$ : ya que $\sum_{t=1}^{T}t^{-1} \sim \log T$ , tendrá que buscar valores que crezcan como $\exp(2k^{3/2})$ .