Son todos los triángulos donde "$a^2 = b^2+ c^2$", en ángulo recto?

Question

Para un triángulo de ángulo recto, se puede decir que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. ¿El conversar mantenga, es decir,. se puede decir también que, si el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo DEBE ser en ángulo recto?

Answer 1

A la inversa sí. Esta es la Proposición 48, Libro I de Euclides los Elementos. (El Teorema de Pitágoras es I-47.)

Recomiendo buscar Euclides prueba, ya que hace buen uso de la geométrica de las desigualdades, y, como tal, es más sutil que la prueba de I-47. La edición vinculado también pasa a ser muy atractivo!

Answer 2

La palabra hipotenusa sólo se aplica a los triángulos rectángulos, en primer lugar, pero también podemos preguntarnos si para un triángulo con lados de $a, b, c$ si la satisfacción de la Identidad Pitagórica $a^2 + b^2 = c^2$ implica que el ángulo entre el $a$ $b$ es correcto.

La respuesta es sí; esto se deduce de (por ejemplo) la Ley de los Cosenos, que generaliza el Teorema de Pitágoras. Si un triángulo tiene lados $a, b, c$ y el ángulo opuesto a $c$ $\gamma$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \gamma$.

Entonces, la Identidad Pitagórica implica que $\cos \gamma = 0$ o $\gamma = \frac{\pi}{2}$.

Answer 3

Sí lo hace por el Coseno de la Regla: $$\cos A=\frac{a^2-b^2-c^2}{2bc}=0=\cos\left(\frac{\pi}2\right)$$ Hace que implican $\displaystyle A=\frac{\pi}2$ si $A=3\pi/2,5\pi/2,\cdots$ o $A=-\pi/2,-3\pi/2,\cdots$ tanto de los que nunca se espera.

Answer 4

La ley de los cosenos:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$$

Si $2ab\cos{C}=0$ donde $C$ es el ángulo en el lado opuesto $c$, ¿qué me puedes decir acerca de la $\cos{C}$?