$A = ({a_{ij}})$ $B = ({b_{ij}})$ $n \times n$ simétrica real matrices cuyo autovalor se ${\lambda _1} \le {\lambda _2} \le \cdots \le {\lambda _n}$ ${\mu _1} \le {\mu _2} \le \cdots \le {\mu _n}$ respectivamente. Si $\left| {{a_{ij}} - {b_{ij}}} \right| \le \varepsilon $, por favor, muestran que $\left| {{\lambda _i} - {\mu _i}} \right| \le n\varepsilon $.
Respuesta
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El max-norma de la "perturbación" de la matriz $P := A-B$ está destinada a ser en la mayoría de las $\varepsilon$. Para una matriz cuadrada, el max-norma está relacionada con el operador de la norma como $$ \| P \|_{\max} \leqslant \| P \|_{\mathrm{op}} \leqslant n\| P \|_{\max}. $$ Por lo tanto, el operador de la norma de $P$ es en la mayoría de las $n \varepsilon$; es decir, todos sus autovalores de a $P$ están en el intervalo de $[-n \varepsilon, +n \varepsilon]$.
Con un límite en el operador de la norma de $P = A-B$ a mano, Weyl la desigualdad en la teoría de la matriz dice que los autovalores de a $A$ $B$ no puede estar demasiado lejos. Más precisamente, la desigualdad de los estados que para todos los $i$, la diferencia de $\lambda_i - \mu_i$ está entre el más pequeño y el mayor autovalor de a $P$; es decir, $$ - n \varepsilon \leqslant \lambda_i - \mu_i \leqslant n\varepsilon, $$ que es lo que queríamos demostrar.
