Deformación de la estructura de Kähler en $CP^n$

Question

Utilizando la coordenada homogénea en $CP^n$ consideramos el conjunto abierto $U_0:=\{[1, \ldots, z_n]\}$ . Entonces la forma estándar de Kähler de $CP^n$ puede escribirse como

$$ \omega_0=\frac{\sqrt{-1}}{2}\partial\bar{\partial}\log(1+|z_1|^2+\cdots+|z_n|^2) $$

La compatibilidad de este formulario puede comprobarse fácilmente para otros gráficos $U_i$ .

Mi pregunta es, si quiero deformar esta forma de Kähler, una manera fácil de hacerlo es introduciendo una función digamos $\rho: \mathbb R\to \mathbb R$ y escribir la nueva forma de Kähler en $U_0$ como

$$ \omega_\rho=\frac{\sqrt{-1}}{2}\partial\bar{\partial}\log(1+\rho(|z_1|^2+\cdots+|z_n|^2)) $$

Entonces, ¿cuáles son las restricciones de $\rho$ y cómo escribir el formulario $\omega_\rho$ en otros gráficos de coordenadas, por ejemplo $U_1$ ?

Answer 1

La manera en que has decidido deformar la forma de Kähler tendrás que comprobar que $\rho$ se pegan en los gráficos de coordenadas, entonces que la forma que has definido es positiva-definida (lo que debería ser automático para los "pequeños" $\rho$ por compacidad). Trato de evitar pegar gráficos cuando puedo, así que permíteme abordar una pequeña deformación de tu pregunta.

Si se quiere deformar la forma de Kähler de manera que se siga obteniendo una forma de Kähler (es decir, que la métrica asociada sea de Kähler, no meramente hermitiana $^*$ ), entonces hay formas un poco más fáciles de hacerlo. Denote por $p : \mathbb C^{n+1} \setminus \{0\} \longrightarrow \mathbb P^n$ la proyección canónica, entonces se sabe que el pullback de la métrica de Fubini-Study por $p$ es $p^* \omega = i \partial \bar \partial \log |z|^2$ , donde $|z^2| = |z_0|^2 + \ldots + |z_n|^2$ .

Ahora, el número de Hodge $\dim_{\mathbb C}H^{1,1}(\mathbb P^n, \mathbb C)$ es igual a $1$ Así que si $\alpha$ es cualquier otra métrica de Kähler sobre $\mathbb P^n$ entonces por el $\partial \bar \partial$ existe una función real suave $\phi$ en $\mathbb P^n$ tal que $\alpha = \omega + i \partial \bar \partial \phi$ . Tirando de esto a través de $p$ tenemos que $p^* \alpha = i \partial \bar \partial (\log |z|^2 + p^*\phi)$ . La función $p^* \phi$ viene de $\mathbb P^n$ por lo que es constante en cualquier línea de $\mathbb C^{n+1} \setminus \{0\}$ (es decir $p^*\phi(\lambda z) = p^*\phi(z)$ para todos los escalares $\lambda \not= 0$ ).

Ahora se obtiene cualquier métrica de Kähler en $\mathbb P^n$ eligiendo una función suave $\phi$ en $\mathbb C^{n+1} \setminus \{0\}$ como en el caso anterior y considerando la forma $p^*\alpha$ . Como es constante en cualquier línea, entonces desciende al espacio proyectivo. Hay que comprobar que $p^* \alpha$ es positivo-definido, lo que acabará siendo una condición para $\phi$ (debe ser $\omega$ -plurisubarmónico), y deberías ser capaz de explicitar cuál es esta condición mediante algunos cálculos violentos.

$^*$ Si se quiere una métrica no Kähler en $\mathbb P^n$ , multiplicar $\omega$ por cualquier función positiva no constante.