El polinomio de la división larga: diferentes respuestas al reordenar los términos

Question

Cuando puedo usar el polinomio de la división larga para dividir a $\frac{1}{1-x}$, I se $\;1 + x + x^2 +x^3 + x^4 + \cdots$
Pero cuando acabo de cambiar el orden de los términos del divisor: $\frac{1}{-x+1}$, el largo algoritmo de la división me da una respuesta muy distinta: $-\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^4} - \cdots$, que parece un poco extraño para mí, porque las sumas que se supone son conmutativas, por lo que se ve que estas dos respuestas deben ser equivalentes. Estoy en lo cierto?

Pero no veo cómo podrían estos dos respuestas sean equivalentes. Podría ser cierto que la $-\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^4} - \cdots \;=\; 1 + x + x^2 +x^3 + x^4 + \cdots$ ?
Si ese es el caso, ¿cómo puede "probar"? O ¿cómo puedo transformar de una forma a la otra?

Ya he descubierto que puedo expresar $-\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^4} - \cdots$ como exponentes negativos: $-x^{-1} - x^{-2} - x^{-3} - x^{-4} - \cdots$ y, a continuación, el factor de la $-1$'s dentro de los exponentes: $-x^{-1\cdot1} - x^{-1\cdot2} - x^{-1\cdot3} - x^{-1\cdot4} - \cdots$ que puede ser visto como la potencia de una potencia: $-(x^{-1})^1 - (x^{-1})^2 - (x^{-1})^3 - (x^{-1})^4 - \cdots$ y el signo menos se puede tener en cuenta también: $-\left[ (x^{-1})^1 + (x^{-1})^2 + (x^{-1})^3 + (x^{-1})^4 + \cdots \right]$ que casi me da la forma de la otra serie con la crianza de los exponentes positivos. Pero hay que colgando signo menos delante de ella, y el 0^th poder término que falta :-/ así que no sé cómo masajear más para obtener la forma de la expansión. Alguna idea?

Editar:
Yo sé acerca de series de Taylor de las expansiones y me puede expandir $\frac{1}{1-x}$ de esta forma en $1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ (no sé cómo llegar a la otra forma de esta manera, aunque).

También, que yo sé acerca de la condición de convergencia de la serie infinita, $|x| < 1$ en el caso de la primera respuesta, y $|x| > 1$ o $|\frac{1}{x}| < 1$ en el caso de la segunda respuesta. Yo simplemente no esperar que esto podría asunto en mi caso, cuando acabo de cambiar el orden de los términos del divisor, que no debería producir diferentes de respuesta.

Yo sospechaba que esto podría estar de alguna manera relacionado con el hecho de que la recaudación de los poderes de una fracción es la misma que la caída de los poderes de su inversa. Pero no puedo averiguar por qué sólo uno de estos o los otros se da, según el orden de los términos en la división larga, y esto es lo que me confunde más.

Answer 1

Viendo como has etiquetado a este secuencias y series, supongo que usted sabe que usted tiene que tener cuidado cuando se habla acerca de la adición de una secuencia infinita de términos.

Hay una serie infinita ocultos en su trabajo cuando usted escribe $$ \frac{1}{1-x}=1+x + x^2 +x^3 + \cdots, $$ pero esta serie sólo converge al $|x|<1$. Esta suma es la serie de Taylor para $\frac{1}{1-x}$.

Hay una serie infinita ocultos en su trabajo cuando usted escribe $$ \frac{1}{1-x} = -\frac{1}{x}- \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}- \cdots, $$ y este infinito de la serie sólo converge al $|x|>1$ (o, equivalentemente, cuando $\left | \frac{1}{x} \right|<1$). Esta suma es el de la serie de Laurent de $\frac{1}{1-x}$.

Así que ambas expresiones son correctas (por la derecha, los valores de $x$), pero no ambos correcto al mismo tiempo. Uno es válido para $|x|<1$ y el otro para $|x|>1$.

Editado para añadir:

Solo para aclarar la situación un poco más:

Estás en lo correcto al decir que la división por $-x+1$ debe ser el mismo que dividir por $1-x$. No hay ningún problema con esto mientras nos detenemos después de un número finito de pasos:

Si nos detenemos después de tres pasos en el polinómica algoritmo de la división, obtenemos $$ \frac{1}{1-x}=1+x +x^2 +\frac{x^3}{1-x}. $$ Es decir, podemos obtener una respuesta de $1+x + x^2$ con un resto de $x^3$ que aún no ha sido dividido por $1-x$.

O, si lo hacemos de otra manera, después de tres pasos, obtenemos $$ \frac{1}{1-x}= - \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3} +\frac{1}{x^3}\times \frac{1}{1-x}. $$ Es decir, podemos obtener una respuesta de $- \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}$ con un resto de $\frac{1}{x^3}$ que aún no ha sido dividido por $1-x$.

Supongamos que $x \neq 0$$x \neq 1$, de modo que todo está bien definida. Entonces $$ \frac{1}{1-x}=1+x +x^2 +\frac{x^3}{1-x} =- \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3} +\frac{1}{x^3}\times \frac{1}{1-x}. $$ Ambas maneras de hacerlo nos da la misma respuesta.

Así que ¿cuál es el problema? Cuando tratamos de continuar esta a un número infinito de términos, necesitamos de una serie infinita que converge a la respuesta correcta. No es el fin de $-x+1$ frente al $1-x$ que da lugar a diferentes respuestas; es el cambio de la escritura de la suma con un número finito de términos de la escritura de la serie con una infinidad de términos que tenemos que ser cuidadosos.

Answer 2

Tenga en cuenta que la serie $\;1 + x + x^2 +x^3 + x^4 + \cdots$ converge sólo para $|x|<1$. Si esta serie es convergente thet usted no puede escribir $\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^4} - \cdots$ porque $|\frac{1}{x}|>1$ y por lo tanto el último de la serie diverge y, por tanto, la igualdad no se cumple. También al revés, si la última igualdad se tiene que el primer lugar no se puede sostener.