por favor ayuda con esto.
He encontrado esto en el libro de texto.
No se deriva de ninguna ecuación diferencial.
También se encontró que la respuesta $$ \frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{t}} + e^t * erf(\sqrt{t}) $$
(pero no sé cómo)
Respuestas
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Ron Gordon
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Inicio de Babak la observación de que
$$\frac{1}{\sqrt{s}-1} = \frac{\sqrt{s}}{s-1} + \frac{1}{s-1}$$
El ILT del segundo término es simplemente $e^t$. Para el primer término, considerar la siguiente integral:
$$\oint_C dz \,e^{z t} \frac{\sqrt{z}}{z-1}$$
donde $C$ es de la siguiente manera:
Vamos a definir $\text{Arg}{z} \in (-\pi,\pi]$, por lo que la rama es el eje real negativo. Hay $6$ piezas para este contorno, $C_k$, $k \in \{1,2,3,4,5,6\}$, de la siguiente manera.
$C_1$ es el contorno a lo largo de la línea de $z \in [c-i R,c+i R]$ para un valor grande de $R$.
$C_2$ es el contorno a lo largo de un arco circular de radio $R$ desde la parte superior de $C_1$ justo sobre el eje real negativo.
$C_3$ es el contorno a lo largo de una línea justo por encima del eje real negativo entre el $[-R, -\epsilon]$ para algunos pequeños $\epsilon$.
$C_4$ es el contorno a lo largo de un arco circular de radio $\epsilon$ sobre el origen.
$C_5$ es el contorno a lo largo de una línea justo debajo del eje real negativo entre el $[-\epsilon,-R]$.
$C_6$ es el contorno a lo largo del arco circular de radio $R$ desde justo debajo de la real negativo del eje de la parte inferior de $C_1$.
Vamos a mostrar que la integral a lo largo de $C_2$,$C_4$, y $C_6$ desaparecen en los límites de $R \rightarrow \infty$$\epsilon \rightarrow 0$.
En $C_2$, la parte real del argumento de la exponencial es
$$R t \cos{\theta} $$
donde $\theta \in [\pi/2,\pi)$. Claramente, $\cos{\theta} < 0$, por lo que el integrando de manera exponencial decae como $R \rightarrow \infty$ y, por tanto, la integral se desvanece a lo largo de $C_2$.
En $C_6$, tenemos la misma cosa, pero ahora $\theta \in (-\pi,-\pi/2]$. Esto significa que, debido a la uniformidad del coseno, el integrando de manera exponencial decae de nuevo como $R \rightarrow \infty$ y por lo tanto la integral también se desvanece a lo largo de $C_6$.
En $C_4$, la integral se desvanece como $\epsilon$ en el límite de $\epsilon \rightarrow 0$. Por lo tanto, nos quedamos con la siguiente por el teorema de los residuos:
$$\left [ \int_{C_1} + \int_{C_3} + \int_{C_5}\right] dz \: \frac{\sqrt{z}}{z-1} e^{z t} = i 2 \pi \, e^t$$
debido a la pole en $z=1$.
En $C_3$, podemos parametrizar por $z=e^{i \pi} x$ y la integral a lo largo de $C_3$ se convierte en
$$\int_{C_3} dz \: \frac{\sqrt{z}}{z-1} e^{z t} = \int_{\infty}^0 dx \: \frac{i \sqrt{x}}{x+1} e^{-x t}$$
En $C_5$, sin embargo, podemos parametrizar por $z=e^{-i \pi} x$ y la integral a lo largo de $C_5$ se convierte en
$$\int_{C_5} dz \: \frac{\sqrt{z}}{z-1} e^{z t} = \int_0^{\infty} dx \: \frac{-i \sqrt{x}}{x+1} e^{-x t}$$
Ahora podemos escribir
$$\frac{1}{i 2 \pi} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} ds \:\frac{\sqrt{s}}{s-1} e^{s t} = e^t + \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} dx \frac{\sqrt{x}}{x+1} e^{-x t}$$
Ahora consideremos la integral en el lado derecho:
$$ \begin{align}\int_0^{\infty} dx \frac{\sqrt{x}}{x+1} e^{-x t} &= \int_{-\infty}^{\infty} du \frac{u^2}{1+u^2} e^{-t u^2}\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} du e^{-t u^2} -\int_{-\infty}^{\infty} du \frac{1}{1+u^2} e^{-t u^2}\\ &= \sqrt{\frac{\pi}{t}} - \pi \,e^t \, \text{erfc}{\sqrt{t}}\end{align}$$
Poniendo todo esto junto, obtenemos
$$\frac{1}{\sqrt{\pi t}} + e^t \text{erf}{\sqrt{t}} + e^t = \frac{1}{\sqrt{\pi t}} + e^t (1+\text{erf}{\sqrt{t}})$$
Su respuesta es la falta de una $e^t$.
$$\frac{1}{\sqrt{s}-1}=\frac{\sqrt{s}+1}{s-1}=\frac{\sqrt{s}}{s-1}+\frac{1}{s-1}=\frac{s}{\sqrt{s}(s-1)}+\frac{1}{s-1}=\frac{1}{\sqrt{s}(s-1)}+\frac{1}{\sqrt{s}}+\frac{1}{s-1}$$ Y sabemos que $$\mathcal{L}(\text{erf}(\sqrt{t}))=\frac{1}{s\sqrt{s+1}},~\mathcal{L}(e^{at}f(t))=\mathcal{L}(f(t))|_{s\to s-1},~\mathcal{L}\left(\frac{1}{\sqrt{t}}\right)=\sqrt{\frac{\pi}{s}}$$
