La conjetura de la exacta igualdad a $\:2\:$ se basa en el cálculo numérico de WolframAlpha. El resultado de la integración depende de la exactitud del cálculo numérico y también cómo el final de la ecuación está especificado. En una primera aproximación, el valor devuelto es redondeado a $\:2.\:$ (sin especificación de exactitud).
Si queremos cambiar un poco la formulación con el fin de hacer WolframAlpha realizar más precisa del cálculo, el resultado no es ya exactamente $\:2\:$ pero :
$$I=\displaystyle \int_0^{1}\frac{x^{-1-x}(1-x)^{x-2}}{\mathrm{B}(1-x, ~x)}\,{dx}=\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_0^{1}x^{-1-x}(1-x)^{x-2}\sin(\pi x)\,{dx}$$
$$I\simeq 2.0000000204004$$
http://www.wolframalpha.com/input/?i=NIntegrate%5Bx%5E%28-1-x%29%281-x%29%5E%28x-2%29sin%28pix%29%2Fpi%2C%7Bx%2C0%2C1%7D%5D-2
Así, la conjetura es numéricamente verificado con una precisión de alrededor de $\:2.10^{-8}\:$. Esto está lejos de ser suficiente. Muchos coïncidences de ese tipo se puede encontrar sin la exacta igualdad. En la técnica de numérico de identificación, una precisión relativa de al menos $\:10^{-18}\:$ se recomienda al menos. Un documento sobre este tema : https://fr.scribd.com/doc/14161596/Mathematiques-experimentales (en francés, no se traduce aún).
Con respecto a la resultat de WolframAlpha, con una diferencia de alrededor de $\:2.10^{-8\:}$ la conclusión debe ser : la conjetura es falsa. Pero uno tiene que ser cautelosos, ya que la precisión de la integración numérica no está asegurada : Así, el número de la prueba no es concluyente.
Por otro lado, con otro software, el resultado fue :
$$I\simeq 1.999999999999938$ $ , que apoya la opinión de que la conjetura podría ser cierto.