Un "elemental" en el enfoque complejo exponentes?

Question

Hay alguna forma de ampliar la primaria de la definición de las competencias, para el caso de los números complejos?

Por "elemental" me estoy refiriendo a la definición basada en $$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\;\text{factors}}.$$ (Meaning I am not interested in the power series or "compound interest" definitions.) This is extended to negative numbers, fractions, and finally irrationals by letting $$a^r=\lim_{n\to\infty} a^{r_n}$$ where $r_n$ is rational and approaches $r$.

Para un ejemplo concreto, ¿cómo podemos interpretar $e^i$ en términos de estas ideas?

Answer 1

Así que aquí es un buen lugar para empezar

$$e^{i\theta}$$

Se interpreta como el número complejo que se forma si se forma un círculo de radio 1 en el complejo campo de número. Y a partir del punto 1 + 0i que se mueve en el círculo de un ángulo a $\theta$ a un nuevo número en el complejo campo de número:

$$\sin(\theta) + \cos(\theta)i)$$

Ahora tenga en cuenta que CUALQUIER número complejo es de la forma

$$r e^{i\theta}$$

Donde $r$ es el valor absoluto del número complejo (o) es la distancia desde el punto 0. El valor de la exponencial compleja simplemente indica el ángulo. En otras palabras, tenemos las coordenadas polares aquí.

Luego de tomar los exponentes se hace muy evidente con simplemente distribuyendo más de ambos elementos que pueden ser tenidos en cuenta en la compleja exponencial de los mismos.

Si 'factor' su exponenciales en un producto de los números de este formato, a continuación, se vuelve intuitiva de lo que físicamente está ocurriendo.

Espero que ayude :)