¿Existen dos polinomios no constantes $f(x),g(x)\in\mathbb Z[x]$ tal que para todos los enteros $m,n$ , gcd $(f(m),g(n))=1$ ?
Creo que no hay tales polinomios, pero ¿cómo demostrarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No existen tales polinomios que sean además mónicos, y me sorprendería que esta restricción resultara ser fundamental.
Supongamos que $f, g$ es un contraejemplo mónico. En particular, $\gcd(f(x), g(x)) = 1$ en $\mathbb{Z}[x]$ . Si $f$ tiene raíces repetidas podemos sustituirlo por $\frac{f}{\gcd(f, f')}$ y de forma similar para $g$ por lo que podemos suponer que WLOG $f$ y $g$ no tienen raíces repetidas ni comparten raíces, por lo que el producto $fg$ no tiene raíces repetidas.
La herramienta clave es la siguiente versión más débil del Teorema de la densidad de Chebotarev .
Teorema ( Frobenius ): Dejemos que $q(x) \in \mathbb{Z}[x]$ sea un polinomio mónico sin raíces repetidas. Entonces la proporción de primos $p$ para la cual la factorización de $q(x) \bmod p$ tiene un conjunto de grados $(d_1, d_2, ..., d_n)$ es precisamente la proporción de elementos del grupo de Galois $G$ del campo de división $K$ de $q(x)$ que tienen el tipo de ciclo $(d_1, d_2, ..., d_n)$ actuando sobre las raíces de $q(x)$ .
Corolario: La proporción de primos $p$ para lo cual $q(x) \bmod p$ es un producto de factores lineales es $\frac{1}{|G|}$ en particular, existen infinitos primos de este tipo; en particular, existe al menos un primo de este tipo.
Ahora aplique el corolario a $q = fg$ . Llegamos a la conclusión de que hay un primer $p$ tal que $f(x)$ y $g(x)$ ambos divididos en factores lineales $\bmod p$ en particular, el conjunto de enteros $n$ para lo cual $f(n) \equiv 0 \bmod p$ y el conjunto de enteros $m$ para lo cual $g(m) \equiv 0 \bmod p$ contienen progresiones aritméticas, por lo que eligiendo un tamaño adecuado $n$ y $m$ la conclusión es la siguiente.
