Distribución del recíproco del coeficiente de regresión

Question

Supongamos que tenemos un modelo lineal $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$ que cumple con todos los estándar de la regresión (Gauss-Markov) supuestos. Estamos interesados en $\theta = 1/\beta_1$.

Pregunta 1: ¿Qué suposiciones son necesarias para la distribución de $\hat{\theta}$ estar bien definida? $\beta_1 \neq 0$ sería importante---otros?

Pregunta 2: Agregar el supuesto de que los errores siguen una distribución normal. Sabemos que, si $\hat{\beta}_1$ es el MLE y $g(\cdot)$ es una forma monotónica, a continuación, $g\left(\hat{\beta}_1\right)$ es el MLE para $g(\beta_1)$. Es monotonía sólo es necesario en el barrio de $\beta_1$? En otras palabras, es $\hat{\theta} = 1/\hat{\beta}$ el MLE? La asignación continua teorema de, al menos, nos dice que este parámetro es consistente.

Pregunta 3: ambos Son el Método Delta y el bootstrap ambos medios adecuados para encontrar la distribución de $\hat{\theta}$?

Pregunta 4: ¿Cómo responder a los cambios del parámetro $\gamma = \beta_0 / \beta_1$?

A un lado, podríamos considerar la posibilidad de reorganizar el problema para dar $$\begin{align*} x_i &= \frac{\beta_0}{\beta_1} + \frac{1}{\beta_1} y_i + \frac{1}{\beta_1} \epsilon_i \\ &= \gamma + \theta y_i + \frac{1}{\beta_1} \epsilon_i \end{align*}$$ para la estimación de los parámetros directamente. Esto no parece funcionar para mí como el de Gauss-Markov supuestos ya no tiene sentido aquí; nosotros no podemos hablar de $\text{E}[\epsilon \mid y]$, por ejemplo. Es esta la interpretación correcta?

Answer 1

Q1. Si $\hat\beta_1$ es el MLE de $\beta_1$, $\hat\theta$ es el MLE de $\theta$ $\beta_1 \neq 0$ es una condición suficiente para que este estimador a estar bien definidos.

Q2. $\hat\theta = 1/\hat\beta$ es el MLE de $\theta$ por la invariancia de la propiedad de la MLE. Además, usted no necesita monotonía de $g$ si no necesita para obtener su inversa. Sólo hay necesidad de $g$ a estar bien definidos en cada punto. Usted puede comprobar esto en el Teorema 7.2.1 p 350 de la "Probabilidad y la Inferencia Estadística" por Nitis Mukhopadhyay.

Q3. Sí, usted puede utilizar ambos métodos, también me echa el perfil de la probabilidad de $\theta$.

T4. Aquí, usted puede reparameterise el modelo en términos de los parámetros de interés $(\theta,\gamma)$. Por ejemplo, el MLE de $\gamma$ $\hat\gamma=\hat\beta_0/\hat\beta_1$ y se puede calcular el perfil de probabilidad del parámetro o su bootstrap distribución como de costumbre.

El enfoque de mencionar que, al final, es incorrecto, en realidad se está considerando la posibilidad de una "calibración del modelo" que se puede comprobar en la literatura. La única cosa que usted necesita es reparameterise en términos de los parámetros de interés.

Espero que esto ayude.

Saludos cordiales.