En ¿de cuántas maneras puede n parejas (esposo y esposa) disponerse en un banco por lo que ninguna mujer se sentaba al lado de su esposo?

Question

De cuántas maneras puede n parejas (marido y esposa) dispuestas sobre un banco para que ninguna mujer se sentaba junto a su esposo?

Pensé acerca de esto:

(Cantidad Total de formas de sentarse 2n personas en 2n se sienta)-(Mediante la inclusión y la exclusión a la que, por lo menos 1 mujer se sienta junto a su marido) Y me sale:

Deje $A_1$ ser el atributo donde al menos 1 mujer sentada junto a su marido, Entonces nosotros "fusionar" el esposo y la esposa en una sola persona. Tenemos $\binom n1$ formas de elegir los $1$ par de $n$ parejas, Y nos quedamos con $2n-1$ lugar $2n-1$ 'gente', de modo que obtenemos $(2n-1)!$ y así sucesivamente, Y en una nota general:

$(2n)!-(2\binom n1(2n-1)!-2^2\binom n2(2n-2)!+...2^k(-1)^k\binom nk(2n-k)!)$ Y un poco simplificada:

$(2n)!-(\sum_{k=1}^n2^k(-1)^k\binom nk(2n-k)!$)

Ya no tengo las respuestas a esta pregunta quiero saber si hice algo mal? Llegué incluso mirar a la pregunta?

Answer 1

Hasta donde soy capaz de decirle que la respuesta es correcta.

Después de algunos intentos fallidos, al simplificar la expresión resultante, me fui por delante y preguntó Wolfram para la respuesta. Él vino para arriba con la fórmula:

$$4^n \frac{\Gamma(n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}} \operatorname{Hypergeometric1F1}(-n,-2n,-2)$$

El extraño aspecto plazo $\frac{\Gamma(n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}}$ es sólo $(2n-1)!!/2^n$, por lo que esto también puede ser escrito como:

$$2^n (2n-1)!! \cdot \operatorname{Hypergeometri1cF1}(-n,-2n,-2)$$

Por desgracia, parece que $\operatorname{Hypergeometri1cF1}(-n,-2n,-2)$ no es nada agradable. Por supuesto, sólo tengo heurística justificación del tipo "si se trataba de algo más agradable, no iba a ser llamado con tal nombre que asusta, y Wolfram sería capaz de simplificar".