Hay más para explicar por qué una hipótesis no tienen, en lugar de que se llega a una contradicción?

Question

Ayer, tuve el placer de enseñar algunas de matemáticas a un estudiante de secundaria. Ella se preguntó por qué la siguiente no funciona:

$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Me lo explicó de la siguiente manera (un poco menos formal)

• Para su hipótesis a la bodega, se debe mantener dado un conjunto arbitrario de las operaciones realizadas en su ecuación.

• Por ejemplo, se debe mantener si nos la plaza de la ecuación, y después se toma la raíz cuadrada, es decir, (tenga en cuenta que he aplicado su lógica en la segunda línea; sé que no está bien hacer las matemáticas como el) $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\\ a+b=a+b+2\sqrt{ab}\\ \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{2\sqrt{ab}}$

• Llegaremos a una contradicción, lo que significa que la hipótesis es falsa.

Sin embargo, a continuación, pasó a preguntar " Pero ¿por qué entonces es falso? Usted sólo demostró que es falso!'. Como que a mí respecta, mi pequeña prueba es un perfecto ¿por qué explicación tan lejos como los matemáticos, pero tuve un tiempo difícil convencer ella - la única cosa que puedo pensar es decir, que el operador de la raíz cuadrada no es un operador lineal, pero yo realmente no creo que añade mucho (además, yo realmente no quiero ser el de explicar y demostrar la linealidad a un estudiante de la escuela secundaria).

Entonces, mi pregunta: ¿hay algo " más " en cuanto a por qué el anterior no funciona, o se justificaba en tratando de convencerla de que esto es realmente todo lo que hay?

Answer 1

Yo era uno de esos estudiantes que era un fanático de los "por qué", así que puedo dar mi propio punto de vista sobre esto. Cuando le pregunté "por qué" en algo como esto, porque yo estaba buscando un principio general de que yo pueda aplicar. Yo no sólo estaba preocupado con el problema en cuestión, sino más bien la situación en la mano, levanto la bandera roja debido a que mi intuición no alineados con lo que me dijeron. Yo estaba preocupado con la legión de posibles ideas erróneas yo podría estar sosteniendo porque había subyacente cosa que me estaba perdiendo. Necesitaba entender, en mis propios términos, lo que el "real deal".

Que el "real deal" es diferente para cada individuo. Varias otras respuestas ya han señalado que no habrá un uno-tamaño-caber-toda la respuesta para esto, porque cada alumno piensa acerca de las matemáticas de una manera diferente. Algunos son aprendices visuales, necesitan fotos. Personalmente, he visto mucho de esto desde la perspectiva de la semántica vs sintaxis: ¿Qué significados son verdaderas frente a lo sintáctico manipulaciones son válidos. Así que, naturalmente, cuando veo el problema de su estudiante, puedo ver desde mi propia perspectiva.

Desde mi punto de vista, el problema es que parece que hay una validez sintáctica de la manipulación, $\sqrt{a+b}=\sqrt un + \sqrt b$. Si me dicen que los que la manipulación no es válido, quiero entender por qué. Las palabras que ahora tendría que usar para describir por qué es que lo que estoy tratando de hacer aquí es "distribuir" la raíz cuadrada sobre la operación de adición, y no está permitido hacerlo. Si yo fuera a quitar la raíz cuadrada, y sustituirla por una más genérica de la función $f(a+b) = f(a) + f(b)$, comienza a volverse más claro que tal suposición no es siempre válida. De hecho, se empieza a parecerse realmente un caso especial (especialmente cuando se considera que la hipótesis anterior no retiene el agua, para los casos simples como $f(x) = x + 1$). La capacidad de distribuir una función sobre otra no es la norma, es el caso especial que se produce en algunas situaciones (como la distribución de la multiplicación sobre la adición).

Esto termina el replanteamiento del problema, lejos de "¿por qué no puedo distribuir una raíz cuadrada sobre la suma de" a "¿qué propiedades especiales son necesarios para permitir la distribución de los bienes?" Se mueve la particularidad de distancia de la plaza de las raíces, y pone especialidad en cosas como la adición y la multiplicación. Empieza a conducir de uno a apreciar por qué la adición y la multiplicación son tan útiles: tienen tantas agradable conveniente propiedades de otras funciones que no tienen!

Answer 2

No llegar a una contradicción, y técnicamente, que ni siquiera tienen un teorema en el primer lugar.

Para ser estrictos, $\sqrt{a+b} = \sqrt un + \sqrt b$ es no un teorema matemático. Un teorema matemático es

Para todos los números reales $a,b$, la igualdad de $$\sqrt{a+b} = \sqrt un + \sqrt b$$ es cierto.

Este teorema es falso, porque la declaración

Existen dos números reales $a,b$ tal que $$\sqrt{a+b} = \sqrt un + \sqrt b$$ no es cierto.

que es la negación de que el teorema es cierto. Esta afirmación es verdadera porque se puede establecer $a=b=1$ y demostrar que es cierto.

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Realmente, lo que hizo no fue una contradicción. Simplemente mostró que, si $\sqrt{a+b} = \sqrt un + \sqrt b$ es cierto, entonces $\sqrt{a+b} = \sqrt un + \sqrt b + \sqrt{2\sqrt{ab}}$ es también verdadero. No demostrar que esta otra afirmación es falsa.

Answer 3

He encontrado que las personas suelen responder bien a los de visual pruebas satisfactorias respuestas a los "por qué" de un teorema es verdadero. En este caso, usted puede utilizar un diagrama en el que se ve algo como lo siguiente:

Esto está destinado a ser un cuadrado con lado de longitud $\sqrt{A}+\sqrt{B}$, pero que claramente no tiene área $a+B$, y por lo tanto la longitud lateral no puede ser expresado también como $\sqrt{A+B}$.

Answer 4

La manera en que yo lo veo, en su argumento de no llegar a una contradicción: se demostró que, si $\sqrt {a+b}=\sqrt {a}+\sqrt {b} $, entonces $$\sqrt {a}+\sqrt {b}=\sqrt {a}+\sqrt {b}+\sqrt {2\sqrt {ab}}. $$ Que es de $\sqrt {2\sqrt {ab}}=0$, entonces $ab=0$.

La conclusión es que $ \sqrt {a+b}= \sqrt {a}+\sqrt {b}$ tiene precisamente cuando al menos uno de $a,b $ es cero.

Answer 5

Esto no es un problema técnico, es un problema humano. De modo que es necesario un enfoque humano.

Teorema de

Todas las personas son rubias.

Si ella no está de acuerdo, pregúntele por qué.

Ayudarla a ver que un contraejemplo a la propuesta del teorema muestra que es falso y "por qué" es falso (que en realidad son la misma cosa).

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Ella puede estar preguntándose por qué su intuición está mal; sospecho que todo el mundo se ha preguntado que (teorema! ;). Esto es particularmente cierto de la distribución.

Explicar que sólo porque algo se ve como podría ser verdad, no significa que es verdad. La distribución de la multiplicación sobre la suma ($a(b + c) = ab + ac$) es "especial". Esta es la razón por la que un estudio cuidadoso de las matemáticas es importante; la intuición nos puede llevar por mal camino.