Desde $X$ es separable entonces existe un conjunto linealmente independiente $\{x_k:k\in\mathbb{N}\}$ tal que $X=\mathrm{cl}_X\left(\mathrm{span}\{x_k:k\in\mathbb{N}\}\right)$ . Denote $E_n=\mathrm{span}\{x_k:k\in\{1,\ldots,n\}\}$ para $n\in\mathbb{N}$ entonces $$ X=\mathrm{cl}_X(E_\infty)\quad\text{where}\quad E_\infty=\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} E_n $$ Fijar $n\in\mathbb{N}$ entonces, por supuesto, existe $T_n:E_n\to\ell_2^n$ tal que $\Vert T_n\Vert\Vert T_n^{-1}\Vert\leq C$ . Después de un reajuste adecuado de $T_n$ podemos suponer que $\Vert T_n\Vert\leq 1$ y $\Vert T_n^{-1}\Vert< C$ . Considere la fucnión $$ \langle\cdot, \cdot\rangle_{E_n}: E_n\times E_n\to\mathbb{R}:(x,y)\mapsto \langle T_n(x),T_n(y)\rangle_{\ell_2^n} $$ Desde $T_n$ es un isomorfismo este mapa es producto interno, y lo que es más $$ C^{-2}\Vert x\Vert^2\leq \langle x, x\rangle_{E_n}\leq\Vert x\Vert^2 \tag{1} $$ Como la extraña consecuencia para un fijo $x\in E_\infty$ la secuencia $\{\langle x, x\rangle_{E_n}:n\in\mathbb{N}\}$ es un subconjunto de Hausdorff compacto $[0, \Vert x\Vert^2]\subset\mathbb{R}$ .
En un conjunto dirigido $(\mathbb{N},\leq)$ con un ordenamiento estándar consideran los respectivos filtro de sección $\mathcal{F}$ y ultrafiltro $\mathcal{U}$ que contiene $\mathcal{F}$ . Definir el mapa $$ \Vert\cdot\Vert_{E_\infty} :E_\infty\to\mathbb{R}: x\mapsto\lim\limits_{\mathcal{U}}\langle x, x\rangle_{E_n}^{1/2} $$ Está bien definido porque el límite a lo largo del ultrafiler para cualquier secuencia contenida en un compacto de Hausdorff existe y es único .
Se puede comprobar que $\Vert\cdot\Vert_{E_\infty}$ es una norma que satisface ley del paralelogramo . Por Teorema de Jordan von Neumann tenemos un producto interno bien definido $$ \langle\cdot,\cdot\rangle_{E_\infty}:E_\infty\times E_\infty\to\mathbb{C}:(x,y)\mapsto\sum\limits_{k=1}^4\frac{i^k}{4}\Vert x+i^ky\Vert_{E_\infty} $$ Desde $X=\mathrm{cl}_X(E_\infty)$ hay una extensión continua $\langle\cdot,\cdot\rangle_X$ de $\langle\cdot,\cdot\rangle_{E_\infty}$ al producto interior sobre el conjunto $X$ . Desde $(1)$ se deduce que la norma $\Vert\cdot\Vert_X$ inducido por $\langle\cdot,\cdot\rangle_X$ es equivalente a la norma original de $X$ . Por lo tanto, el mapa de identidad $$ 1_X:(X,\Vert\cdot\Vert)\to(X,\Vert\cdot\Vert_X):x\mapsto x $$ da el isomorfismo deseado.
En los comentarios de abajo Martin sugirió un método de diagonales para evitar el uso de ultrafiltros, pero aplicable sólo para espacios de Banach separables. Este enfoque se puede generalizar fácilmente a espacios de Banach arbitrarios.
