¿Qué diferencias hay entre los axiomas de Hilbert y los de Euclides?

Question

Euclides tenía sus axiomas.

¿Por qué necesitaríamos la axiomatización moderna de Hilbert de la geometría euclidiana?

¿Cuáles son las principales diferencias entre los dos conjuntos de axiomas?

Answer 1

Los axiomas de Euclides son insuficientes, con bastante diferencia, para demostrar los teoremas de Elementos . El primer error está en la primera proposición, que consiste esencialmente en dibujar un triángulo equilátero.

El procedimiento consiste en dibujar determinados círculos. Entonces el triángulo equilátero tiene vértices en ciertos lugares donde se encuentran los círculos. Pero Euclides no demuestra que las circunferencias se encuentren.

Pasch observó una omisión importante en el siglo XIX. Supongamos que $ABC$ es un triángulo, y sea $\ell$ sea una recta que pasa por un punto $P$ en un borde de $\triangle ABC$ . Entonces hay un punto $Q$ (posiblemente igual a $P$ ) en otra arista del triángulo, tal que $\ell$ pasa a través de $Q$ . La suposición de que esto es cierto se utiliza tácitamente en Elementos . No se deriva ni se puede derivar de los axiomas de Euclides.

En $1900$ Hilbert hizo una axiomatización completa, con todos los detalles. El resultado es mucho más complicado que la axiomatización parcial de Euclides. Una característica de la axiomatización de Hilbert es que es de segundo orden. Una ventaja es que se puede demostrar que, por ejemplo, el plano de Euclides se puede coordinar con los números reales.

Más tarde, en el $1930$ Tarski produjo una axiomatización que es de primer orden. Inevitablemente, perdemos el resultado de que los modelos son isomorfos al plano de coordenadas $\mathbb{R}^2$ . Pero hay bonificaciones, como el resultado posterior (también de Tarski) de que existe un procedimiento de decisión para la geometría elemental.

Answer 2

Porque los axiomas de Euclides no representan un sistema axiomático formal y riguroso. Ya que algunos postulados pueden ser demostrados por otros por lo que no son independientes. También hay algunos teoremas, como el teorema de Pasch en geometría euclidiana, que no se pueden demostrar utilizando los axiomas de Euclides. Hay otras razones metodológicas que hacen necesario construir un nuevo sistema axiomático más completo.