Cálculo del valor de $1000^{th}$ derivado en $0$ .

Question

Necesito calcular el valor de $1000^{th}$ derivada de la siguiente función en $0$ :

$$f(x) = \frac{x+1}{(x-1)(x-2)}$$

He hecho problemas similares antes (por ejemplo $f(x)= \dfrac{x}{e^{x}}$ ) pero el enfoque que he utilizado no funcionaría en este caso y creo que debería ampliar esta función en una serie de potencias. ¿Podríais darme alguna pista sobre cómo hacerlo?

Answer 1

Una pista: Tenga en cuenta que $f(x)=\frac{3}{x-2}-\frac{2}{x-1}$ y si $g(x)=\frac{1}{x-a}$ entonces $g^n(x)=\frac{(-1)^n n! }{(x-a)^{n+1}}$ donde $a$ es una constante y $g^n(x)$ es el $n$ -derivada de $g(x)$ .

Aquí $$\begin{align} \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-1} &=\frac{x+1}{(x-2)(x-1)}\\ \implies A(x-1)+B(x-2) &= x+1 \\ \implies x(A+B)+(-A-2B) &= x+1\end{align}$$ De esto obtenemos $$\begin{align}A+B &=1 \\ -A-2B &=1 \end{align}$$

Answer 2

Empezando por la descomposición de la fracción parcial $$f(x)=\frac{3}{x-2}-\frac{2}{x-1}\;,$$ utilizar la suma de series geométricas para escribir

$$\begin{align*} f(x)&=-\frac32\cdot\frac1{1-\frac{x}2}+2\frac1{1-x}\\\\ &=2\sum_{n\ge 0}x^n-\frac32\sum_{n\ge 0}\left(\frac{x}2\right)^n\\\\ &=\sum_{n\ge 0}\left(2-\frac32\left(\frac12\right)^n\right)x^n\\\\ &=\sum_{n\ge 0}\left(2-\frac3{2^{n+1}}\right)x^n\;. \end{align*}$$

Entonces equipara esto con la serie Maclaurin

$$f(x)=\sum_{n\ge 0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

para conseguir $$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=2-\frac3{2^{n+1}}$$ y luego

$$f^{(n)}(0)=n!\left(2-\frac3{2^{n+1}}\right)\;.$$

Answer 3

Como sugieren Argha y David Mitra, comienza con la descomposición en fracciones parciales: $$f(x)=\frac{3}{x-2}-\frac{2}{x-1}.$$ Ahora bien, si $g(x)=\frac{1}{x-a}$ para alguna constante $a$ entonces una prueba por inducción muestra rápidamente que $$g^{(n)}(x)=\frac{(-1)^nn!}{(x-a)^{n+1}}.$$ De ello se desprende que $$f^{(1000)}(x)=\frac{3\cdot 1000!}{(x-2)^{1001}}-\frac{2\cdot 1000!}{(x-1)^{1001}}.$$ Ahora haz $x=0$ .