¿Qué significa resolver un problema matemático de forma analítica?

Question

Estoy leyendo un libro de Cálculo por pura edificación propia y al principio la introducción al pre-cálculo tiene el problema,

$3x+y=7$

Hablan de resolver el problema de forma gráfica, analítica y numérica. El tema es el gráfico básico, Rene Descartes, etc.

Tienen una parte numérica que es simplemente una tabla de valores. Eso lo entiendo. El gráfico lo entiendo.

Pero para el enfoque analítico, tienen

"Para encontrar sistemáticamente otras soluciones, resuelve la ecuación original para $y$

$y=7-3x$

No entiendo cómo llegaron a eso. ¿Por qué no $x$? ¿Por qué es esto analítico? ¿Qué hace que esto sea "analítico"? ¿Por qué a alguien se le ocurriría que resolver para $y$ es el camino a seguir, el proceso de pensamiento.

Puedo resolver el problema. Eso no es el problema. Quiero entender por qué lo estoy haciendo de esta manera. Gracias.

edit:

"El gráfico de una ecuación

Considera la ecuación $3x+y=7$. El punto $(2,1)$ es un punto de solución de la ecuación porque la ecuación se satisface (es verdadera) cuando se sustituye $2$ por $x$ y $1$ por $y$. Esta ecuación tiene muchas otras soluciones, como $(1,4)$ y $(0,7)$. Para encontrar sistemáticamente otras soluciones, resuelve la ecuación original para $y$.

$y = 7 - 3x$ Enfoque analítico"

Estoy seguro de que esto es obvio y tal vez no entiendo lo que significa la palabra analítico en este contexto.

Cálculo de una Variable, Sexta Edición, 1998, Larson, Hostetler, Edwards

(Lo compré en una tienda de segunda mano.)

Answer 1

"Analíticamente" proviene de la misma raíz que "análisis", que en matemáticas significa de manera poco estricta el estudio de las propiedades de los objetos.

En este caso, resolver analíticamente una ecuación significa encontrar una solución simplemente explotando reglas conocidas: suma y resta, asociatividad, conmutatividad, etc.

Esto difiere de una solución "numérica", donde se utilizan y comparan una secuencia de números para ver si se cumple la igualdad. Las soluciones numéricas son muy similares a las soluciones gráficas, pero no requieren una representación pictórica.

Answer 2

Analítico significaría manipular las ecuaciones involucradas para expresar una variable en términos de otras variables sin utilizar cálculos numéricos.

Por ejemplo, en tu caso, el valor de $y$ se expresó en términos de $x$ sin utilizar ningún valor explícito para $x.

Answer 3

Analítico en el sentido genérico de las matemáticas significa básicamente resolver usando Álgebra (propiedades, reglas o teoremas, o usar propiedades de trigonometría/funciones), o en otras palabras sin el uso de una calculadora, gráfico, o al ingresar valores (lo cual es similar a una tabla de valores).

Answer 4

La ecuación que mencionas no es un problema. Es una ecuación que relaciona las variables x e y. Un "problema" (tarea) podría ser resolver para y, o resolver para x, o poner la ecuación en algún otro forma especial, o encontrar x cuando y es 13, o algo similar. Aparentemente el autor del libro tenía algo en mente que no expresó. Desafortunadamente eso no parece ser inusual. Cuestionaste eso, lo cual fue exactamente lo correcto.

Answer 5

Es decir, ya sea que utilices un enfoque numérico (comparando valores para acercarte cada vez más a tu respuesta deseada), un enfoque gráfico (observando el gráfico para aproximarte a tu respuesta) o un enfoque analítico (utilizando álgebra). Siempre se te dará algún valor dependiente (comúnmente conocido como x, pero no siempre) para encontrar el valor independiente en otro conjunto (comúnmente conocido como y, pero de la misma manera, no siempre). De hecho, tanto x como y son variables arbitrarias, puedes elegir c y e en lugar de x e y y la ecuación seguirá funcionando. La definición más precisa es que: En el enfoque analítico, manipulas la ecuación algebraicamente para encontrar el valor de la variable independiente que deseas buscar.

En álgebra de nivel inferior y cálculo de nivel intermedio inferior, el enfoque analítico generalmente te da la respuesta más precisa. Especialmente cuando no tienes una computadora potente que pueda obtener un alto nivel de aproximación precisa.

Sin embargo, siempre hay ecuaciones difíciles de resolver. Por ejemplo, si estás realizando integración, algunas ecuaciones son simplemente imposibles de integrar, o no sin horas de trabajo. Por lo tanto, a menudo se aproxima utilizando la técnica de integración numérica en lugar de hacerlo de manera analítica. Dos ejemplos que podrías buscar son la regla de Simpson y la regla del trapecio, que dan una buena aproximación cuando se han realizado suficientes "cortes" y no es tan difícil de comparar para una gran cantidad de "cortes" en una computadora moderna. Siempre se puede ver que esto es lo que generalmente hace el enfoque numérico. (^-^)