Cuando se hace la diferenciabilidad implica analiticidad?

Question

Supongamos que una compleja función con valores de $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es complejo diferenciable en a$z$, $\lim\limits_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} = f'(z)$ existe y es finito. Supongamos también que $f$ es continua en un barrio de $z$ (o algunas abrir la bola alrededor de $z$). ¿Esto implica que $f$ es analítica en $z$ (o tal vez en un barrio alrededor de ella)? Puede usted dar un contraejemplo? Puede usted pensar en una función es analítica en un solo punto aislado?

Answer 1

Vamos $f(z)=|z|^2=x^2+y^2$. $f$ es continua en a $\mathbb{C}$ (aun $C^\infty$ como una función de las variables reales $x$ y $y$), $f'(0)=0$ (en el sentido complejo), sino $f$ no es complejo diferenciable en cualquier $z\ne0$.