Álgebra lineal: sistemas de Ecuaciones

Question

Considere la posibilidad de una secuencia finita $x_i \in (0,1)$ $i=1,\ldots, n$ y definen $y_i=\dfrac{\Pi_{j=1}^n x_j }{x_i}$.

He resuelto este sistema para $x$ en términos de $y$ y consiguió $$x_i=\dfrac{\left(\Pi_{j=1}^n y_j \right)^\frac{1}{n-1}}{y_i}.$$

Ahora recoger algunas $m<n$. Hay una manera sencilla de solucionar $(x_1,\ldots x_m, y_{m+1},\ldots, y_n)$ en términos de $(y_1,\ldots y_m, x_{m+1},\ldots, x_n)$?

Si tomamos los registros, este es un sistema lineal. Mi única idea sobre cómo resolver es escribir el sistema de $n=2,3$ y resolverlo por la fuerza bruta a ver si algún patrón emerge y si es así, hacer una conjetura y probarlo... Pero tal vez alguien puede ver algún truco que me estoy perdiendo. Esta no es la tarea. Para algunos es lema que necesito en mi papel.

Answer 1

Definir $x_i'=x_i$$y_i'=\dfrac{y_i}{x_{m+1}\ldots x_n}$$i\leq m$. Observe que $y_i'=\dfrac{\prod_{i=1}^m x_i'}{x_i'}$.

Ahora utilizar la segunda fórmula para escribir $x_i=x_i'(i\leq m)$ como una función de la $y_i'$. Observe que $y_i'$ sólo depende de $y_1,\ldots,y_m,x_{m+1},\ldots ,x_n$.

Siguiente, para $j>m$, aviso que $y_j=\dfrac{\prod_{i=1}^m x_i'\prod_{i=m+1}^n x_i}{x_{j}}$. Recordamos que sabemos cómo escribir $x_i'$ dependiendo $y_1,\ldots,y_m,x_{m+1},\ldots ,x_n.$, de Modo que usted puede escribir $y_j(j>m)$ dependiendo $y_1,\ldots,y_m,x_{m+1},\ldots ,x_n.$

Answer 2

La reescritura de las ecuaciones en el lineal, se puede usar un bloque de descomposición

$$\left[ \begin{array}{ccc} A & B\\ C& D \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_0\\ x_1\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ccc} y_0\\ y_1\end{array} \right]$$

y resolver para el vector de las secciones que desea

$$x_0=A^{-1}(y_0-Bx_1),\\y_1=Cx_0+Dx_1=CA^{-1}y_0+(D-CA^{-1}B)x_1.$$

Dejando $O_{mk}$ ser una matriz rectangular de todos, hemos

$$A=O_{mm}-I_m,$$ y $$A^{-1}=\frac1{m-1}O_{mm}-I_m.$$

Dada la sencilla estructura de los bloques, una cerrada fórmula es posible. Nos deja denotar $X_1$ $Y_0$ la suma de los componentes de $x_1$$y_0$. A continuación,

$$A^{-1}y_0=\frac{Y_0}{m-1}O_{m1}-y_0$$ $$A^{-1}Bx_1=(\frac1{m-1}O_{mm}-I_m)O_{m,n-m}x_1=(\frac1{m-1}O_{mm}-I_m)O_{m1}X_1=\frac{X_1}{m-1}O_{m1}$$ y $$x_0=\frac{Y_0-X_1}{m-1}O_{m1}-y_0.$$

Siguiente,

$$y_1=O_{n-m,m}x_0+(O_{n-m,n-m}-I_{n, m})x_1\\ =(m\frac{Y_0-X_1}{m-1}-Y_0)O_{n-m,1}+X_1O_{n-m,1}-x_1\\ =\frac{Y_0-X_1}{m-1}O_{n-m,1}-x_1.$$