Dado un modelo de ZF donde $ \mathbb{R} $ es el contable de la unión de conjuntos contables, que hace a cada subconjunto de $ \mathbb{R} $ tienen medida cero?

Question

La pregunta básicamente lo dice todo. Es bien conocido el resultado de que no existe un modelo de $ \mathcal{M} $ de ZF con la propiedad de que $ \mathbb{R}^{\mathcal{M}} $ ($ \mathbb{R}^{\mathcal{M}} $ es el elemento de la $ \mathcal{M} $ que $ \mathcal{M} $ piensa que es real en su campo de número) es el contable de la unión de conjuntos contables. ¿Cómo puede ser esto compatible con la afirmación de que la unidad de intervalo de $ [0,1]^{\mathcal{M}} $ (el objeto que $ \mathcal{M} $ piensa que es la unidad de intervalo) tiene una medida de $ 1 $? Aquí se encuentra el problema. Cada contables conjunto tiene medida $ 0 $, por lo tanto, un contable de la unión de conjuntos contables es una contables de la unión de medida-$ 0 $ conjuntos, los cuales, a su vez, implica que el $ \mathbb{R} $ tiene una medida de $ 0 $. A continuación, se deduce que el $ [0,1] $ tiene una medida de $ 0 $.

A menos que alguna forma de que el Axioma de Elección (AC) que se necesita para hacer sentido de la teoría de la medida (es decir, alguna variante de CA es necesario para asegurar que el estándar de la medida de Borel $ \mu $ existe, en primer lugar), no veo ninguna manera de resolver este problema.

Answer 1

Si insistimos en que la Lebesgue (o Borel), la medida se $\sigma$-aditivo, entonces sí. Es inmediato que los contables de los conjuntos de medida cero; y por lo tanto, el contable de la unión de distintos conjuntos contables ha de ser de medida cero así.

Una de las formas de solucionar esto es renunciar a las $\sigma$-aditividad de la medida. Otra manera es usar códigos de Borel. Borel códigos son efectivas recetas para hacer conjuntos de números reales, tomamos no cualquier tipo de uniones e intersecciones y complementos (como normalmente), pero también podemos "seguir la pista" de lo que hemos hecho hasta ahora.

Afortunadamente, siempre hay un surjective mapa de los números reales en Borel códigos, por lo que incluso sin elección no hay demasiados de ellos (incluso si todos los conjuntos de Borel, no todos ellos tienen códigos). Hay una rica teoría acerca de estos conjuntos y cómo podemos desarrollar una medida respecto de ellos, se puede leer en Fremlin, Teoría de la Medida, vol. 5.

También debo señalar que recientemente he descubierto que es consistente con la ZF que:

1. Cada contables de la unión de contable de conjuntos de números reales es contable;
2. Cada conjunto de números reales es Borel (en el sentido de que los más pequeños de $\sigma$-álgebra que contiene el abierto de conjuntos es $\mathcal P(\mathbb R)$)
3. El cofinality de $\omega_1$ es contable. Es decir, $\omega_1$ es el contable de la unión de contables de los números ordinales.

Por lo tanto teoría de la medida puede jodidos incluso si los números reales no son numerables y unión de conjuntos contables.

En términos de elección de los principios, el axioma de contables de elección suele ser suficiente para concluir que la teoría de la medida en que se comporta muy bien, y dependiente de la elección (que es un poco más fuerte) es ciertamente suficiente para desarrollar casi todos los análisis clásico y básico de la teoría de la medida. Tanto implicaría que $\omega_1$ es regular y que no todos los conjuntos de números reales son Borel.