Cómo encontrar esta integral $$\int_0^\infty\frac{dx}{(x^3+(1+x^2)^{3/2}+x)(1+\sqrt{1+x^2} \arctan x)}$$ Esto es muy difícil para mí, porque me extrañaba a mi calc clase dos veces y yo no sabía acerca de la integración de la inversa de la función trigonométrica. Por favor me ayude. Gracias.
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Reescribir la integral dada como $$ \int_{x=0}^\infty\frac{dx}{\left(1+x^2\right)\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)\left(\sqrt{1+x^2}\arctan x+1\right)}.\tag1 $$ Deje $y=\tan x\;\Rightarrow\;dy=\sec^2x\ dx$$\sec x=\sqrt{1+x^2}$, la integral en $(1)$ resulta ser $$ \int_{y=0}^{\Large\frac\pi2}\frac{dy}{(\sec y+\bronceado y)(y\sec y+1)}.\tag2 $$ Multiplicar el numerador y el denominador en $(2)$ $\cos^2 y$ rendimientos $$ \int_{y=0}^{\Large\frac\pi2}\frac{\cos^2 y\ dy}{(1+\pecado y)(y+\cos y)}.\tag3 $$ El último paso, vamos a $u=y+\cos y\;\Rightarrow\;du=(1-\sin y)\ dy$, la integral en $(4)$ resulta ser $$ \int_{u=1}^{\Large\frac\pi2}\frac{1}{u}\ du=\large\color{blue}{\ln\left(\frac\pi2\right)}. $$
Omran Kouba
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Nos deja denotar la propuesta integral por $I$. La sustitución de $u=\arctan x$ rendimientos $$\eqalign{ I&=\int_0^{\pi/2}\frac{du}{(\tan u+\sec u)(u\sec u+1)}\cr &=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^2 u}{(1+\sen u)( u+\cos u)}du\cr &=\int_0^{\pi/2}\frac{1-\pecado u}{ u+\cos u}du\cr &=\Big[\ln(u+\cos u)\big]_0^{\pi/2}=\ln\left(\frac{\pi}{2}\right) } $$ cual es el resultado deseado.$\qquad\square$
