Definición del joven simetrizador

Question

Tengo una pregunta sobre la equivalencia de dos definiciones del simetrizador joven. Primero, algo de notación: dejemos que $\lambda$ sea una partición de $n$ . Dada una $\lambda$ -tableau $T$ (es decir, un cuadro de forma $\lambda$ con las entradas $1,2,\ldots,n$ ), definimos el Estabilizador de filas de $T$ por $R(T)=S_{r_1} \times \dots \times S_{r_l}$ donde $r_1, \dots, r_l$ son las filas de $T$ y análogamente, definimos el estabilizador de columna de $T$ como $C(T)=S_{c_1} \times \dots \times S_{c_k}$ , donde $c_1, \dots, c_k$ son las columnas de $T$ . (Consideramos que ambos $R(T)$ y $C(T)$ como subgrupos del grupo simétrico $S_n$ .) Sea $a_T=\sum_{\sigma \in R(T)} \sigma $ y $b_T=\sum_{\tau \in C(T)} \mbox{sgn}(\tau) \tau $ sean dos elementos del álgebra de grupo $\mathbb C\left[S_n\right]$ .

Ahora, para mi pregunta: algunas referencias que he visto definen $c_T = a_T b_T$ como el Joven simetrizador . Lo importante para mis propósitos aquí es que este simetrizador corresponde a una representación irreducible de $S_n$ indexado por $\lambda$ . Sin embargo, he visto que otras fuentes definen el simetrizador de Young $b_T a_T$ . Esta última definición es más útil en algo en lo que estoy trabajando, así que quería verificar que esto es correcto. ¿La segunda definición sigue correspondiendo de la misma manera a la misma representación irreducible de $S_n$ ? Toda mi intuición me dice que debería, y he probado varios ejemplos con un sistema de álgebra computacional, pero quiero estar seguro.

Answer 1

Dejemos que $A = \Bbb{C}[S_n]$ queremos demostrar que $Aa_Tb_T \cong Ab_Ta_T$ como la izquierda $A$ - módulos. Para ello necesitamos el hecho crucial de que $a_Tb_Ta_Tb_T = n_T (a_Tb_T)$ para alguna constante $n_T \neq 0$ . Esto viene al saber que $Aa_Tb_T$ es una representación irreducible de $S_n$ y utilizando el Lemma de Schur. Ahora definimos los mapas

$$f : Aa_Tb_T \stackrel{\cdot \frac{a_T}{\sqrt{n_T}}}{\longrightarrow} Ab_Ta_T \hspace{5mm} \text{and}\hspace{5mm} g: Ab_Ta_T \stackrel{\cdot \frac{b_T}{\sqrt{n_T}}}{\longrightarrow} Aa_Tb_T$$

que son simplemente la multiplicación correcta por $a_T/\sqrt{n_T}$ y $b_T/\sqrt{n_T}$ respectivamente. Obsérvese que la división por $n_T$ está bien porque sólo estamos dividiendo por un número . Entonces, para cualquier $x \in Aa_Tb_T$ , escriba $x = y a_Tb_T$ para algunos $y \in A$ . Entonces $$g(f(x)) = \frac{ya_Tb_Ta_Tb_T}{n_T} = \frac{n_T \cdot (ya_Tb_T)}{n_T} = x$$ y de forma similar para cualquier $z \in Ab_Ta_T$ encontramos $f(g(z)) = z$ . De ello se desprende que $f$ y $g$ definir la izquierda mutua $A$ - módulo inverso y así $Aa_Tb_T \cong Ab_Ta_T$ .