Cuando enseño el segundo semestre cálculo I generalmente discutir la función de $f$ definido por $$ f(x)=e^{-1/x^2} $$ para$x \neq 0$$f(0)=0$. O, casi con el mismo ejemplo, $g$ definido por $$ g(x)=e^{-1/x^2} $$ para$x>0$$g(x)=0$$x \in (-\infty,0]$. Tanto en $f$ $g$ son demasiado suave en $x=0$ a ser analítico en un neighboorhood de el origen. Cada uno tiene trivial serie de Taylor en$x=0$, y sin embargo cada función es claramente distinto de cero en cualquier nbhd que contiene cero. Hasta donde yo sé, estos son el estándar de ejemplos para aclarar la distinción entre liso y funciones analíticas en $\mathbb{R}$
Pregunta: ¿hay otros ejemplos de funciones que son suaves, pero no analítica? Es posible dar una función suave que deja de ser analítico en un intervalo? Lo especial que son los ejemplos que me ofrecen?
Me doy cuenta de que usted puede cambiar mis ejemplos verticalmente, horizontalmente, cambiar la escala o incluso agregar una analítica de la función para que se vea diferente. Idealmente, yo estoy buscando un genuinamente diferente de ejemplo, a continuación, los dos que se ofrecen; también, teniendo en cuenta el público objetivo, sueño de una fórmula que es accesible para el cálculo II los estudiantes. Espero que el espíritu de la pregunta es clara.
Gracias de antemano por sus puntos de vista!
