No estoy tomando una clase oficial (exámenes actuariales), algunos compañeros "estudiantes" crearon una pregunta (discusión en el foro), considerando la integral en el título. Este es mi intento de solución sin justificaciones reales
\begin{align} \int_0^tsZ_s \, ds & = \int_0^ts\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nY(ih)\sqrt h\,ds\\ & = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt n}\sum_{i=1}^nY(ih)\int_0^ts^{3/2} \, ds\\ & = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt n}\sum_{i=1}^nY(ih)\frac{2}{5}t^{5/2}\\ & = \frac{2}{5}t^2Z_t. \end{align}
Tengo grandes dudas de que esto sea correcto. O si es correcto, ¿cómo debo confirmarlo? ¿Utilizando el lema de Ito? Estoy utilizando la representación simple del movimiento de Wiener,
$$Z_t=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nY(ih)\sqrt h,$$
con tamaño de paso $h=t/n$ , donde $Y(ih)=\pm1$ cada uno con probabilidad $\frac{1}{2}$ (transformación de una RV de Bernoulli).
He tomado la serie de cursos de análisis real de pregrado, por lo que una idea que me viene a la cabeza es que $Z$ no se comporta lo suficientemente bien como para intercambiar objetos como límites, sumas e integrales. Me resultaría interesante saber qué condiciones de los teoremas no estoy cumpliendo, de varios cursos a lo largo de la secuencia de cursos que ascienden a un curso de integración estocástica.
