Las órbitas de acción de $SL_m(\mathbb{Z})$ $\mathbb{Z}^m$

Question

Estoy considerando la acción de la $SL_m(\mathbb{Z})$$\mathbb{Z}^m$: si $A\in SL_m(\mathbb{Z})$$v\in\mathbb{Z}^m$,$Av\in\mathbb{Z}^m$.

Mi pregunta es: ¿cuáles son las órbitas de esta acción? Estoy especialmente interesado en el caso de $m=3$.

Para $m=2$, tenemos los siguientes:

Si $a$ $b$ (positiva) de enteros primos relativos, entonces siempre se puede encontrar enteros $c$$d$, de modo que $ad-bc=1$, por lo que $\begin{pmatrix} a&c \\ b&d \end{pmatrix}$ es en $SL_2(\mathbb{Z})$. Eso significa que $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ está en la órbita de $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ en virtud de esta acción. Por el contrario, es fácil ver que nada más puede estar en esa órbita. De manera más general, las órbitas de esta acción son en bijection con los números enteros no negativos: la órbita correspondiente a $n>0$ se compone principalmente de la red de puntos de $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ con $\gcd(|a|,|b|)=n$. Y si $n=0$, entonces la órbita consta de $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ sólo.

Answer 1

Aplicar el algoritmo de Euclides para el conjunto de entradas de un número entero distinto de cero vector $v$. Las operaciones del algoritmo cantidad a multiplicar por elemental entero matrices (con todos los 1's en la diagonal y $\pm 1$ en uno fuera de la diagonal de la entrada), que son, por lo tanto, en $GL(m,Z)$. Después de un número finito de pasos (que ascenderá a actuar por un producto de matrices elementales), de convertir a $v$ a un vector de la forma $(d, 0,...,0)$ donde $d$ es el mcd de las entradas de $v$. Con el fin de obtener una matriz en la $SL(m,Z)$, sólo se debe multiplicar por una matriz de la forma $Diag(1,-1,1...)$ si es necesario. La conclusión es que no es sólo una órbita de la acción para cada valor absoluto de $gcd$ el vector de entradas.