Contráctiles espacios trivial grupo fundamental.

Question

Tengo que probar lo siguiente: Demostrar que si $X$ es contráctiles (def. Que tengo es que $I:X\rightarrow X$ la función identidad es homotópica a la función constante $p$ algunos $p\in X$), luego de su grupo fundamental es trivial.

Aquí está mi intento: Desde el espacio es contráctiles, es la ruta de acceso conectado (cada punto será contratado a un punto fijo, entonces para cualesquiera dos arbitraria, tomar la ruta de acceso del punto fijo, y luego caminar hacia atrás en el otro camino, esto le da un camino entre dos puntos), puedo asumir que $\pi_1(X,p)$ es tal que $p$ es la contracción punto (ya que en una ruta de acceso conectado espacio, todos los grupos obtenidos en las diferentes orígenes son isomorfos), a continuación, vamos a $h$ ser mi homotopy entre la identidad y la constante mapa, por lo tanto tenemos: $$ h(0,-)=I(-) $$ $$ h(1,-)=p $$were $I$ is the identity on $X$ and $p$ is the constant path. Let $\gamma\en \pi(X,p)$. I want to show $[\gamma]=[p]$, so I thought of this homotopy, $F:[0,1]^2\rightarrow X$ a través de: $$ F(t,s)=h(t,\gamma(s)) $$Then, $F(0,s)=h(0,\gamma(s))=I(\gamma(s))=\gamma(s)$, $F(1,s)=p$, and lastly $F(t,0)=F(t,1)=h(t,\gamma(0))=h(t,p)$. I do not know how to argue why $h(t,p)=p$ for a contraction to $p$. It might be that my $F$ is incorrect too. (Note that $F$ is clearly cts, since $h$ is and $\gamma$ es así).

Answer 1

Su idea es correcta, pero el movimiento de $p$ es el detalle cuidado. Me gusta corregir la mala homotopies por meterse con el cuadrado, ya que el espacio es demasiado complicado. Imagina comenzar en la esquina inferior derecha de la plaza. Luego va hacia atrás a lo largo de la parte inferior que está pasando a lo largo de la ruta de $\sigma(t)$ de el punto de $p$. Es decir, $\sigma(t) = h(t,p)$. Si a continuación, vamos, esto va a lo largo de nuestro camino de $\gamma$, y, finalmente, vamos a lo largo de la parte superior, seguimiento de las $\sigma$, en la dirección de avance. Por lo que su plaza parece ser un "extraño homotopy" de $\sigma^{-1} \ast \gamma \ast \sigma$ a el camino constante, con el antiguo camino a lo largo de tres de los lados en lugar de sólo uno. Sin embargo, afirmo que una inteligente de transformación de $I^2 \rightarrow I^2$ puede activar este "extraño homotopy" se define en un honesto homotopy de $\sigma^{-1} \ast \gamma \ast \sigma$ a el camino constante.

EDIT: Usted debe, por supuesto, luego de averiguar cómo pasar de esto al hecho de que $\gamma$ es homotópica a la constante camino. Para esto, usted va a solicitar una agradable teorema o intento otro caramelo mapa de su plaza.

Answer 2

Si el espacio X es contráctiles por hipótesis, entonces tienes una homotopy equivalencia entre X e $\lbrace x_0 \rbrace $ (el espacio con un solo punto). Entonces no es difícil probar que el homotopy equivalencia induce un isomorfismo entre los 2 grupos fundamentales.

tal vez usted no está "permitido" para utilizar estos resultados, pero según yo, la mejor manera de resolver este tipo de ejercicio es encontrar una forma más fácil homotopically equivalente espacio y trabajar con ella. Sobre esto, el uso de CW estructura y teoremas pueden ser muy útiles.

si usted necesita para mostrar una explícita homotopy la otra respuesta es buena. Este es sólo un ejemplo de otro enfoque.