¿Por qué estudiamos el número de homomorphisms/isomorphisms entre los campos?

Question

Desde el primer álgebra abstracta de la clase, nos encontramos con muchos problemas que se nos pide encontrar el número de homomorphisms/un isomorfismo entre dos estructuras de álgebra (por ejemplo, en campo).

Mi primera pregunta es ¿por qué estudiamos homomorphisms? Para mí, es mucho más débil que isomorphisms (aunque más fuerte que un simple bijection, por supuesto, así que supongo que es mejor que nada).

Mi segunda pregunta es, ¿por qué estamos especialmente interesados en el número de homomorphisms/isomorphisms? O es sólo algo que pone a prueba la comprensión de los estudiantes de la asignatura?

Actualización: Fue para algunos gyoza y escribí en mi teléfono. Tengo esta pregunta porque me acabo de graduar y estoy tomando un curso en línea sobre la Teoría de Galois. La prueba tiene algunos problemas sobre "contando los morfismos". Un ejemplo sería,

Dada una expresión algebraica de la extensión de $F/\mathbb{Q}$, ¿cuántas homomorphisms $F\to \mathbb{C}$ de los campos hay?

Otro ejemplo sería,

Cuántos homomorphisms hay de$\mathbb{F}_{p^3}$$\mathbb{F}_{p^4}$?

Supongo que simplemente no estoy totalmente la comprensión de la motivación/tomar lejos de aquí (lo que realmente me hace pensar que es difícil aprender matemáticas avanzadas, sin estar en una universidad). La primera pregunta tiene algo de sentido ya que, $\mathbb{C}$ es una "extensión natural" de $\mathbb{Q}$ aunque no es una expresión algebraica. Pero no tengo ningún pensamiento en la segunda pregunta.

Answer 1

En un sentido básico, el álgebra es acerca de los conjuntos que tienen ciertos tipos de estructuras y acerca de las funciones que conservar esas estructuras—es decir, morfismos.

Morfismos revelan la estructura de los espacios. Por ejemplo, si usted sabe acerca de las propiedades de un espacio de $X$, los morfismos en otro espacio $Y$ puede decirle a usted acerca de $Y$.

En cuanto a por qué isomorphisms podría no ser tan relevante: una manera de ver esto es que isomorphisms preservar demasiado estructura a revelar información interesante acerca de un espacio de la estructura—, porque si hay un isomorfismo entre dos espacios, en realidad son idénticos en cuanto a sus algebraico de estructura se refiere.

No estoy seguro de por qué el número sería sobre todo una propiedad importante saber acerca de los espacios, excepto que no importa lo que el espacio que usted está mirando, siempre se puede preguntar cómo muchos de los morfismos hay. El número de isomorphisms es interesante porque muestra algo acerca de la simetría del espacio— cómo muchas maneras en que un espacio puede ser asignada a otro.

Answer 2

Hay tanto que decir, para responder plenamente a esta pregunta. Voy a intentar mismo algunas cosas, pero es muy probable que voy a un montón de cosas.

¿Por qué estudiamos homomorphisms?

Hay muchas razones para estudiar homomorphisms entre las estructuras. El estudio de homomorphisms entre las estructuras que podemos encontrar una gran cantidad de propiedades de las propias estructuras.

En lo que sigue voy a tratar de dar algunos desordenada lista de ejemplos.

Una forma típica de estudiar una estructura de grupo es por mirar a su homomorphisms dentro de los grupos simétricos (grupo de bijections). Mediante el uso de las propiedades de estos homomorphisms uno puede fácilmente resultar muy a menudo hecho sobre la existencia de subgrupos, el número de subgrupos, el orden de los elementos, etc, etc, etc.

En general, si usted tiene una estructura algebraica $S$ mediante el estudio de la surjective homomorphisms de la forma $f \colon S' \to S$ puede demostrar que las ecuaciones que tiene en $S$: eso es porque surjective homomorphisms conserva ecuaciones.

En álgebra lineal, aplicaciones lineales, que son homomorphisms para espacios vectoriales, nos permiten estudiar la solución a la ecuación lineal con el lenguaje de los espacios vectoriales.

Sabemos que todo espacio vectorial tiene lineal isomorphisms tiene espacio vectorial de la forma $\mathbb K^n$ (donde $\mathbb K$ es un campo y $n$ es un número cardinal). A través de estos isomorphisms podemos reducir los problemas entre espacios vectoriales a problemas en el álgebra de matrices.

Podríamos seguir en esto, vamos a pasar a la otra pregunta.

¿Por qué estamos especialmente interesados en el número de homomorphisms/isomorphisms?

Isomorphisms de una estructura de formar un grupo, el número de estos isomorphisms es una primera información que nos permite conocer mejor a este grupo.

Sabiendo grupo de isomorphisms para una estructura dada es muy importante porque nos da información acerca de la simetría de la estructura. A partir de esta información se puede obtener algunas constantes que pueden ser de ayuda en la comprobación de que su estructura no es isomorfo a alguna otra estructura.

En particular, usted puede estudiar este grupo mediante el uso de teoría de grupos, y hay un montón de teorema que le puede dar información acerca de un grupo por el simple hecho de saber su cardinalidad.

Espero que esto ayude.

Answer 3

Como no hay nadie y la única pregunta a tu pregunta, me voy a referir a la Teoría de Galois. Si tenemos una extensión de $\mathbb{K}$ de un campo de $\mathbb{F}$, entonces el grupo de Galois de $\mathbb{K}$ es el conjunto de todos los isomorphisms $\phi :\mathbb{K}\to \mathbb{K}$, que corrige $\mathbb{F}$ pointwise, en otras palabras $\phi (c)=c \ \ \ \forall c\in\mathbb{F}$.