Necesito una explicación intuitiva de los valores y vectores propios

Question

He estado navegando por aquí durante bastante tiempo, y finalmente he dado el paso y me he apuntado.

He empezado la carrera de matemáticas y estoy haciendo un curso de Álgebra Lineal. Aunque parece que me va bastante bien en todos los temas tratados, como los vectores y la manipulación de matrices, estoy teniendo algunos problemas para entender el significado de los valores propios y los vectores propios.

Por mi parte, no puedo entender la explicación de ningún libro de texto (¡y he probado tres!), y Google hasta ahora no me ha ayudado en absoluto. Todo lo que veo son preguntas de problemas, pero ninguna explicación real (e incluso entonces la mayoría de ellos son difíciles de entender).

¿Podría alguien ser tan amable y proporcionar una explicación no especializada de estos términos, y ponerme un ejemplo? Nada demasiado difícil, ya que soy un estudiante de primer año.

Gracias, y espero pasar más tiempo aquí.

Answer 1

He aquí algunas intuiciones motivadas por las aplicaciones. En muchas aplicaciones, tenemos un sistema que toma una entrada y produce una salida. Un caso especial de esta situación es cuando las entradas y salidas son vectores (o señales) y el sistema efectúa una transformación lineal (que puede representarse mediante alguna matriz $A$ ).

Así, si el vector de entrada (o señal de entrada) es $x$ entonces la salida es $Ax$ . Normalmente, la dirección de la salida $Ax$ es diferente de la dirección de $x$ (puede probar los ejemplos eligiendo arbitrariamente $2 \times 2$ matrices $A$ ). Para entender mejor el sistema, una pregunta importante que hay que responder es la siguiente: ¿cuáles son los vectores de entrada que no cambian de dirección cuando pasan por el sistema? Está bien que la magnitud cambie, pero la dirección no debería hacerlo. En otras palabras, ¿cuáles son los $x$ para los que $Ax$ es sólo un múltiplo escalar de $x$ ? Estos $x$ son precisamente los vectores propios.

Si el sistema (o $n \times n$ matriz $A$ ) tiene un conjunto $\{b_1,\ldots,b_n\}$ de $n$ vectores propios que forman una base para el $n$ -Entonces tenemos mucha suerte, porque podemos representar cualquier entrada dada $x$ como una combinación lineal $x=\sum c_i b_i$ de los vectores propios. Cálculo de $Ax$ es entonces simple: porque $A$ toma $b_i$ a $\lambda_i b_i$ , por linealidad $A$ toma $x=\sum c_i b_i$ a $Ax=\sum c_i \lambda_i b_i$ . Así, a efectos prácticos, hemos simplificado nuestro sistema (y la matriz) a una matriz diagonal porque hemos elegido como base los vectores propios. Hemos podido representar todas las entradas como simples combinaciones lineales de los vectores propios, y la matriz $A$ actúa sobre los vectores propios de forma sencilla (sólo multiplicación escalar). Como ves, se prefieren las matrices diagonales porque simplifican mucho las cosas y las entendemos mejor.

Answer 2

Permítanme dar una explicación geométrica en 2D. El primer hecho que casi siempre se pasa por alto en clase es que un "operador lineal" o una matriz $T$ actuando en un espacio $V \to V$ parece una combinación de rotaciones, giros y dilataciones. Para imaginarnos lo que quiero decir, pensemos en una tela con patrón de tablero de ajedrez. Si aplico una transformación al espacio, éste se estira (o se encoge) tirando de la tela en diferentes direcciones, y tal vez también rote y voltee la tela. Lo que quiero decir, como mostraré, es que la dirección en la que se tira del espacio (la tela) son los vectores propios. Empecemos con las imágenes:

Comience por aplicar $T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ a la rejilla estándar de la que hablé anteriormente en 2D. La imagen de esta transformación (que sólo muestra la imagen de la cuadrícula de 20 por 20) se muestra a continuación. Las líneas en negrita de la segunda imagen indican los vectores propios de $T.$ Obsérvese que sólo tiene 1 vector propio (¿por qué?). La transformación $T$ es tal que "cizalla" el espacio, y el único vector unitario que no cambia de dirección como resultado de $T$ es $e_2 = (0,1)^T.$ Dibuja cualquier otra línea en este paño, y cada vez que apliques $T$ se volverá más vertical (más alineado con el vector propio).

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Veamos un ejemplo con dos vectores propios:

Aquí, dejemos que $T = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix},$ otra matriz común con la que te encontrarás. Ahora vemos que esto tiene 2 vectores propios. En primer lugar, debo pedir disculpas por las escalas en estas imágenes, los vectores propios son perpendiculares (pronto aprenderás por qué debe ser así.) Inmediatamente podemos ver lo que la acción de $T$ está en la cuadrícula estándar de 20 por 20. Físicamente, imagina que una tela se mantiene fija en las 4 esquinas, y luego 2 de las esquinas opuestas se estiran en la dirección de la línea en negrita. Las líneas en negrita son los vectores que no cambian de dirección como $T$ se aplica, o se podría decir que son las direcciones características de $T$ . Al aplicar $T$ una y otra vez, cualquier otro vector en el espacio tiende hacia la dirección de un vector propio.

Y por último, he decidido no dejar una foto, pero considerar $T = \begin{pmatrix} \cos{x} & -\sin{x} \\ \sin{x} & \cos{x} \end{pmatrix}.$ Se trata de una rotación del espacio en torno al origen, y no tiene vectores propios (reales). ¿Puede imaginar por qué una rotación pura no tiene vectores propios reales? Espero que ahora esté claro que, como todo vector cambia de dirección al aplicar $T,$ no existen eigenvectores reales.

Estos conceptos se pueden generalizar fácilmente a dimensiones superiores. Mi sugerencia, como estudiante de primer año, sería que recordaras estos ejemplos mientras aprendes sobre multiplicidad geométrica, matrices simétricas y matrices ortogonales (unitarias), tal vez este ejemplo te dé alguna idea física sobre esas importantes clases de operadores también.

Answer 3

Bueno, voy a intentar dar un ejemplo sencillo. Una ecuación de valor propio se puede encontrar en diferentes áreas. Como estás aprendiendo álgebra lineal, te daré un ejemplo de ésta. Supongamos que estás trabajando en $\Bbb{R}^3$ y se le da una transformación lineal $T:\Bbb{R}^3 \to \Bbb{R}^3$ . Entonces, se dice que $v \in \Bbb{R}^3$ es un vector propio de $T$ con valor propio $\lambda \in \Bbb{R}$ si satisface la siguiente ecuación:

$$T(v)=\lambda v \quad (1)$$

Así que una pregunta que se puede hacer es la siguiente: Dada una transformación lineal $T:\Bbb{R}^3 \to \Bbb{R}^3$ ¿cuáles son sus valores y vectores propios?

Bien, para responder a esta pregunta, por su definición, los vectores propios son los $v\in \Bbb{R}^3$ tal que $T(v)=\lambda v$ . Como estamos trabajando en $\Bbb{R}^3$ podemos pensar $T$ como una matriz $A\in \Bbb{R}^{3x3}$ y por lo tanto la ecuación $(1)$ puede escribirse en forma de matriz como

$$Av = \lambda v$$

Que es lo mismo que decir:

$$(A-\lambda Id)v=0 \quad (2)$$

Así que básicamente encontrar los vectores propios es análogo a resolver este sistema lineal de ecuaciones (En este caso $3$ ecuaciones).

En este enlace se ofrece un ejemplo: http://www.sosmath.com/matrix/eigen2/eigen2.html

Que podría copiar pero creo que es más fácil si lo compruebas. Verás que calculan $\det(A-\lambda Id)=0$ ya que es una forma de resolver el sistema de ecuaciones mencionado.