¿Cómo llamamos a una "función" que no está definido en la parte de su dominio?

Question

Antes de las respuestas inmediatas entrar, me doy cuenta de que un bien se define la función que está definida para todos los valores de su dominio.

Mi pregunta es esta: si $f:A\to B$ tiene la propiedad de $f(a)=b_1$$f(a)=b_2$, entonces es a menudo todavía se llama a una función, pero que "no definido".

Si no es $b$ $B$ tal que no hay ningún pre-imagen en$f$, entonces decimos que $f$ "no surjective".

Entonces, lo que nosotros llamamos una "función" que tiene la propiedad de que $f(a)$ no está definida para algunos $a$$A$? Parece que debería haber una palabra para esto, aparte de decir $f$ no es una función.

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Edit: me doy cuenta de que una función que no está bien definida, en realidad, no es una función. Estoy hablando informal de hablar, por ejemplo, en clase de cómo lo decimos "vamos a ver si esta función está bien definida" como si se tratase de una función, incluso si no estaban bien definidos. Me pregunto si hay una frase análoga para los mapas que no están definidos en todo su dominio. Esto es todo informal, que es por eso que me etiqueten un suave cuestión.

Answer 1

Estás buscando función parcial. Una función parcial $f$ $X$ $Y$es una función de $X' \to Y$ donde $X'$ es un subconjunto de a $X$.

Sin embargo, con respecto a su comentario acerca de las funciones que no están bien definidos: no hay tal cosa como una función que no está bien definido. Si $f$ $X$ $Y$no está bien definido, a continuación, $f$ no es en realidad una función, pero sólo una relación (de algún subconjunto de $X \times Y$). Funciones parciales no son consideradas funciones. El término "función", se requiere que para cada entrada, hay exactamente una salida.

Lo que probablemente confundido es que a menudo debemos definir una función, y justo después de la definición se compruebe que está bien definido. Lo que realmente estamos comprobando sin embargo, es que lo que decia era función era en realidad una función; es por eso que la llamamos bien definido, lo que significa que nuestro definición no era defectuoso. Es algo así como un abuso de palabras para definir algo como una función antes de comprobar que está bien definido; uno realmente debe primero definir como una relación, y, a continuación, probar la proposición de que se trata de una función.

Answer 2

No es completamente claro lo que estamos buscando, pero:

Definición de 0. Deje $Y$ $X$ denotar conjuntos. A continuación, una relación de tipo $Y \leftarrow X$ es, por definición, un subconjunto de a $Y \times X$.

Relaciones forman un local posetal daga categoría que es a veces denotado $\mathbf{Rel}$.

Explícitamente:

Dadas las relaciones de $q : Z \leftarrow Y$$p : Y \leftarrow X$, su composición se define como sigue:

$$(q \circ p)(z,x) \iff \mathop{\exists}_{y:Y}(q(z,y)\;\&\; p(y,x))$$

Dada una relación $r : Y \leftarrow X$, sus converse $r^\dagger : X \leftarrow Y$ se define como sigue:

$$r^\dagger(x,y) \iff r(y,x)$$

Definición 1. Supongamos $r : Y \leftarrow X$ es una relación. Entonces:

• $r$ se dice que toda la fib para todos los $x \in X$, hay al menos un $y \in Y$$r(y,x)$.

• $r$ dijo ser determinista iff para todos los $x \in X$, hay un $y \in Y$$r(y,x)$.

Estos pueden ser caracterizados en un "cuasi-algebraica" de la siguiente manera:

• $r : Y \leftarrow X$ es todo iff $r^\dagger \circ r \geq \mathrm{id}_X$

• $r : Y \leftarrow X$ es determinista iff $r \circ r^\dagger \leq \mathrm{id}_Y$

El determinismo de la relación también se llama una función parcial. Toda la relaciones a veces son llamados multifunctions. De modo que una "función" que da varias salidas $b_1,b_2$ en algunos de entrada de $a$ puede ser referido como una multifunción.

Answer 3

No es posible que $f(a) = b_1$ $f(a) = b_2$ si $b_1=b_2$. Sin embargo, podemos considerar las funciones que la salida se pone, por lo $f(a) = \{b_1,b_2\}$$f(c) = \{b_3\}$. Si no estamos en lo que podríamos pensar de $f$ como tomar varios valores en $a$, pero sólo un único valor en $b$. Esto se llama una función de varios valores (https://en.wikipedia.org/wiki/Multivalued_function). E. g. inversas de las funciones trigonométricas.

Answer 4

$\text{Partial function}$ - cuando algunos elementos en el dominio de mapa para nada (por ejemplo, $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $f:x\mapsto\frac{1}{x}$ es técnicamente una función parcial porque es indefinido en $0$)