Bijección entre primos gemelos y números $n$ de tal manera que $n^2-1$ tiene exactamente cuatro divisores positivos

Question

Estoy trabajando en la Introducción a la Teoría de los Números de Niven, y la redacción del siguiente problema me hace dudar de mi respuesta:

Mostrar que hay una correspondencia uno a uno entre los primos gemelos y los números $n$ de tal manera que $n^2-1$ tiene sólo cuatro divisores positivos.

Sentí que una bendición obvia sería $f \colon A \rightarrow B \colon (p,p+2) \mapsto p+1$ donde $A$ es el conjunto de todos los pares de primos gemelos, y $B$ es el conjunto de todos los positivos $n$ de tal manera que $n^2-1$ tiene sólo cuatro divisores positivos. $f$ es inyectable, y para cualquier $n$ si $n^2-1=(n-1)(n+1)$ tiene sólo cuatro divisores positivos, deben ser $1,(n-1),(n+1),n^2-1$ lo que implica que $n-1$ y $n+1$ son primos gemelos, y por lo tanto $(n-1,n+1)$ sería un preámbulo adecuado.

Sin embargo, asumí que la redacción del problema significaba que debía mostrar una bendición de pares no ordenados de primos gemelos a números enteros positivos, pero no estoy seguro de si el problema pretendía que encontrara una bendición que tomara un solo primo que resulta ser un primo gemelo, a cualquier tal $n$ no necesariamente positivo, lo cual es problemático ya que ambos $n$ y $-n$ dar lo mismo $n^2-1$ . ¿He interpretado correctamente este problema? Si no es así, ¿existen otras bijecciones con los diferentes dominios y rangos que mencioné anteriormente?

Answer 1

Hay un bonito mapa 2D de las matemáticas aquí (a través de Wayback Machine), basado en las publicaciones de arXiv. Creo que se acerca bastante a lo que estás buscando y es más reciente que algunos de estos otros mapas.

(fuente: Wayback Machine)

Answer 2

Como señala Yuval, (F(n-1=p, n+1=q) := n)^2-1 = pq es la interpretación obvia. Si se quiere interpretar el problema especificando como dominio de la bijección un solo primo p para el cual p+2 o p-2 es también primo, o dos primos que forman parte del mismo par de gemelos pero dados en cualquier orden, o si se permite que n sea negativo mientras que p y q son convencionalmente positivos, entonces (en cualquiera de esos casos) existe una bijección si y sólo si los primos gemelos son infinitos en número.

Si se extiende ambos el dominio y el alcance de esta manera, entonces todavía funciona: F(-n+1=p, -n-1=q) := n. También si extiendes el rango y extiendes el dominio permitiendo primos negativos entonces todavía funciona sin añadir a la definición de F.