Cómo puedo probar el lema de Zorn es equivalente al Axioma de elección?
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Asumir el axioma de elección. Deje $(P,\le)$, en parte, un conjunto ordenado que cada cadena tiene una cota superior. Deje $f$ a ser una función de elección de todos no vacía de subconjuntos de a $P$, y deje $P_a = \{x\in P\mid a<x\}$ $P_a=\varnothing$ si y sólo si $a$ es un elemento maximal.
Definimos mediante la inducción transfinita:
Deje $a_0$ ser un elemento de $P$, si es maximal, entonces hemos terminado. De lo contrario, $P_0 = \{x\in P\mid a_0<x\}$ es no-vacío, deje $a_1 = f(P_0)$.
Supongamos $a_\alpha$ fue definido, si es maximal, entonces hemos terminado, de lo contrario $P_\alpha=\{x\in P\mid a_\alpha<x\}$ es no vacío y $a_{\alpha+1} = f(P_\alpha)$.
Si $\alpha$ es un ordinal límite, y para todos los $\beta<\alpha$ hemos escogido $a_\beta$, $\{a_\beta\mid \beta<\alpha\}$ es una cadena sin un elemento maximal en $P$, y por lo tanto acotada con un límite superior por encima de todos los elementos de la cadena, por lo $\bigcap_{\beta<\alpha} P_\beta\neq\varnothing$, y deje $a_\alpha=f(\bigcap_{\beta<\alpha} P_\beta)$.
Sostenemos que esto tiene que parar en algún momento, de lo contrario tendrá una inyección de la clase adecuada de los ordinales en el conjunto $P$. ¿Por qué el proceso se detenga? Sólo se puede detener si hemos llegado a un elemento maximal en algunos $a_\gamma$, como quería.
Asumir el lema de Zorn, y deje $X$ ser un no-vacío colección no vacía de conjuntos. Deje $(C,\subseteq)$ ser el conjunto de todas elección de las funciones de algunos elementos de la $X$.
Este es un conjunto no vacío, ya que siempre puede elegir a partir de un número finito de conjuntos. Dada una cadena de funciones de elección, la unión de hecho es una función. Por lo tanto la condición de que el lema de Zorn está satisfecho. Tenemos un elemento maximal $f$.
Si $f$ no es una función de elección de todos los miembros de $X$, entonces podemos extender a más de un elemento, lo que contradice la maximality.
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Aunque este es un resultado estándar, que se puede encontrar en otro lugar (probablemente en la mayoría de los libros de texto y apuntes sobre la teoría de conjuntos); creo que alguna breve discusión y dar algunos consejos podrían ser útiles.
Tal vez la primera cosa importante es destacar que cuando se quiere mostrar que algo es equivalente al Axioma de Elección, usted tiene que trabajar en una axiomática de los sistemas donde AC no es un axioma. Yo diría ZF es la más utilizada.
La prueba de ZL $\Rightarrow$ CA es similar a la mayoría de las aplicaciones del lema de Zorn. Queremos mostrar que existe un selector de función de elección). Este selector se obtiene a partir de ZL como máxima parcial selector. Así que la única cosa es mostrar que la unión de una cadena (w.r.t. la inclusión) de funciones parciales, que seleccione un elemento de cada conjunto es de nuevo una función.
La prueba de CA $\Rightarrow$ ZL que me gusta se basa en la inducción transfinita. Se supone que hay un conjunto que cumple con los supuestos de ZL y no tiene consumo máximo de elementos. De esta manera nos inductivamente construir una cadena sin límite superior. El uso de corriente ALTERNA es seleccionar algún elemento del conjunto no vacío de los límites superiores de los ya seleccionados los elementos en cada paso. Este tipo de prueba se supone que ya sabemos algo acerca de los números ordinales y de inducción transfinita, pero creo que esta técnica es muy útil en general.
Sin embargo, por diversas razones, algunos autores prefieren evitar el uso de la inducción transfinita. Como ejemplo puedo mencionar los papeles de Weston y Lewin abajo. Como ya he mencionado, la prueba se puede encontrar en casi todos los libros de texto estándar. He incluido Devlin y Halmos, para dar al menos un ejemplo de un libro que utiliza los números ordinales en esta prueba y un ejemplo de un libro que evita ellos.
Algunas referencias:
J. D. Weston: Una breve prueba del Lema de Zorn, Archiv der Mathematik, Volumen 8, Número 4, 279, DOI: 10.1007/BF01898788. El largo de una página de prueba de CA $\Rightarrow$ ZL sin el uso de la inducción transfinita.
Lewin, J. (1991). Una simple prueba del lema de Zorn. La American Mathematical Monthly, 98(4), pp 353-354. jstor Otro corto de prueba de CA $\Rightarrow$ ZL evitando el uso de los números ordinales.
K. Devlin: la Alegría de Conjuntos. Teorema de 2.7.5 en p.60 prueba de CA $\Rightarrow$ ZL mediante la inducción transfinita. El opuesto implicaciones se administra como una serie de implicaciones en los teoremas siguientes de este.
P. Halmos: Ingenua Teoría de conjuntos, p.62. Halmos elige el enfoque de evitar la inducción transfinita.
