Cómo puedo probar Infinitesimal Límite

Question

cómo puedo probar con este problema: Probar que si $$\lim_{x\to 0} f(x) = 0,$$ y $$\lim_{x\to 0} \frac{f(2x)-f(x)}{x}= 0,$$ a continuación, $$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} = 0.$$

yo intente resolverlo de esta manera:

$f(x)$ es infinitesimal, porque $\lim_{x\to 0} f(x) = 0,$

$\lim_{x\to 0} \frac{f(2x)-f(x)}{x}= 0,\Rightarrow {f(2x)-f(x)}=o({x})\Rightarrow {f(2x)}=f(x)+o({x}).$

Bien

$$\lim_{x\to 0} \frac{f(2x)-f(x)}{x}= \lim_{x\to 0} \frac{f(x)+o({x})}{x}= \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}+\lim_{x\to 0}\frac{o({x})}{x}=0$$

$\lim_{x\to 0}\frac{o({x})}{x}=0$, por supuesto; luego $$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$$

Answer 1

Como se ha señalado por Ilya el argumento de que el OP es incorrecta. Aquí está mi propuesta:

Hay una función de $x\to g(x)$ con $g(x)\to 0$ $\ (x\to 0)$ tal que

$$f(2x)-f(x)=x\ g(x)\ .$$

Como $f(x)\to 0$ $\ (x\to 0)$ podemos establecer la siguiente telescópico de la serie:

$$f(x)\ =\ \sum_{k=1}^\infty \bigl(f(2\cdot 2^{-k}x)- f(2^{-k}x)\bigr) \ =\ x\ \sum_{k=1}^\infty 2^{-k} g(2^{-k}x)\ .$$

Desde $\sum_{k\geq 1} 2^{-k}=1$ se sigue que

$$\left|{f(x)\over x}\right|\ \leq\ \sup_{0<|t|<|x|}\ |g(t)|\to 0\qquad (x\to 0)\ .$$

Answer 2

Este es el Problema 3.2.7 de Problemas de análisis real por Teodora-Liliana T. Rădulescu, Vincentiu D. Radulescu, Titu Andreescu; p.121-122. La única diferencia es que el uso de $\lim\limits_{x\to 0} \frac{f(x)-f(x/2)}x=0$, lo que obviamente es equivalente a la condición de la pregunta, y trabajan con $x>0$, la cual puede ser modificada fácilmente. Te voy a dar un bosquejo de su solución.

La idea básica es aviso de $\lim\limits_{x\to 0} \frac{f(x)-f(x/2)}x=0$ implica que para determinado $\varepsilon>0$ hay $\delta>0$ tal que $$|f(x)-f(x/2)|<\varepsilon |x|$$ siempre que $x<\delta$. Para cualquier fija $x<\delta$ hemos $|f(x/2^n)-f(x/2^{n+1})|<\varepsilon |x|/2^n$ y por el triángulo de la desigualdad obtenemos $$|f(x)-f(x/2^n)| \le 2\varepsilon |x|.$$ Ahora tomando el límite de $n\to\infty$ y el uso de $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$ da $$|f(x)|\le 2\varepsilon |x|$$ $$\frac{|f(x)|}{|x|} \le 2\varepsilon$$ para cualquier $x<\delta$.