Imagen de un espacio normal bajo un cerrado y continuo mapa es normal

Question

$p : X \to Y$ es continuo, cerrado y surjective, y $X$ es un espacio normal. Espectáculo $Y$ es normal.

No es una sugerencia, que estoy tratando de demostrar: demostrar que si $U$ está abierto en $X$ y $p^{-1}(\{y\}) \subset U$, $y \in Y$, entonces existe una vecindad $W$ $y$ tal que $p^{-1}(W) \subset U$.

Tengo un candidato para $W$, es decir,$W=Y\setminus p(X \setminus U)$. Me hizo probar que esta $W$ está abierto, y que $p^{-1}(W) \subset U$, pero no veo la manera de $y \in W$. Creo que esto requeriría de inyectabilidad de $p$.

También he demostrado que $y \in p(U)$ y $W \subset p(U)$, así que si también se $W \supset p(U)$,$y \in W$.

Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Por la pista que han dado, que han dado el conjunto correcto $W$. Tenga en cuenta que como $p^{-1} [\{ y \}] \subseteq U$, $p(x) \neq y$ todos los $x \in X \setminus U$, lo que implica que $y \notin p [ X \setminus U ]$ o, de manera equivalente, $y \in Y \setminus p [ X \setminus U ] = W$.

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Me gustaría tener la tentación de atacar este problema en un alightly manera diferente, tomando nota de que, en esencia, por de Morgan Leyes, la normalidad de un espacio topológico $X$ es equivalente a la siguiente:

Abierta $U , V \subseteq X$ tal que $U \cup V = X$ no se cierra $E \subseteq U$ $F \subseteq V$ tal que $E \cup F = X$.

Así que vamos a $U,V \subseteq Y$ ser abierto conjuntos tales que a $U \cup V = Y$. Entonces, por la continuidad de $f$, $f^{-1}[U], f^{-1}[V]$ están abiertos los subconjuntos de a $X$, e $f^{-1}[U] \cup f^{-1}[V] = X$. Como $X$ es normal la condición anterior implica que no se cierran $E \subseteq f^{-1}[U]$ $F \subseteq f^{-1}[V]$ tal que $E \cup F = X$. Es fácil comprobar que $f[E] \subseteq U$$f[F] \subseteq V$. Como $f$ es un cerrado de asignación, a continuación, $f[E],f[F]$ son subconjuntos cerrados de $Y$, y por el surjectivity de $f$ se sigue que $f[E] \cup f[F] = Y$. Por lo tanto $f[E],f[F]$ son necesarios.

Answer 2

¿Por qué ir a través de todos esos problemas, cuando se puede hacer de la siguiente manera:

Deje $p: X \rightarrow Y$ ser un sistema cerrado, el continuo surjection. Ahora vamos a $A,B$ ser dos distintos subconjuntos cerrados de $Y$. Debido a $X$ es normal, podemos separar el cerrado conjuntos disjuntos $p^{-1}(A), p^{-1}(B)$ $X$ por los respectivos vecindarios $U_1, U_2$. Ahora elegir los barrios $V_1$$A$, e $V_2$ $B$ s.t. $p^{-1}(V_1) \subset U_1$, e $p^{-1}(V_2) \subset U_2$. Luego de ello se sigue que $V_1, V_2$ son disjuntas. Por lo tanto, $Y$ es normal.

Tenga en cuenta que, en general, una imagen continua de un espacio normal no es necesariamente normal.