¿Cuál es una forma fácil de demostrar que un subgrupo es normal?

Question

Creo que en la mayoría de las situaciones (por ejemplo, en $S_n$ o $D_n$ ), demostrar por definición es demasiado complicado porque hay que calcular $gng^{-1}$ por cada $n$ en $N$ y $g$ en $G$ . Demostrar que todos los cosets de la izquierda son también cosets de la derecha es también demasiado complicado porque hay que encontrar todos esos cosets. Me pregunto si hay una manera de hacerlo sin tener que calcular todo a mano.

Answer 1

Hay varias formas de acortar el trabajo.

1. Si se puede presentar un homomorfismo cuyo núcleo sea precisamente $N$ , entonces esto garantiza que $N$ es normal. Esto es lo que ocurre a menudo.

2. Basta con comprobar un grupo electrógeno para $N$ . Es decir, si $N=\langle X\rangle$ entonces $N$ es normal en $G$ si y sólo si $gxg^{-1}\in N$ por cada $x\in X$ . Por ejemplo, esto hace que se demuestre que el subgrupo generado por todos los $m$ los poderes es normal fácil.

3. Basta con comprobar un grupo electrógeno para $G$ y sus inversos. Es decir, si $G=\langle Y\rangle$ y $yNy^{-1}\subseteq N$ y $y^{-1}Ny\subseteq N$ para todos $y\in Y$ entonces $N$ es normal.

Answer 2

Si tu subgrupo tiene índice 2, entonces siempre es normal (porque tanto si consideras los cosets de la izquierda como los de la derecha, sólo existen estos 2: el propio subgrupo y el resto de los elementos).

Otra forma (quizá la mejor) es demostrar que el subgrupo es el núcleo de un homomorfismo que tiene el grupo como dominio.

Answer 3

Si sabes que un subgrupo de un orden particular es el ÚNICO subgrupo de ese orden, entonces sabes que es normal. Sé que es un caso único, pero es una herramienta más a tener en cuenta.

Answer 4

Eso dependería del problema. Creo que las siguientes propiedades son las más útiles.

Un subgrupo $N$ de $G$ es normal si se cumple una de las siguientes condiciones:

1. Por cada $g\in G$ y $n\in N$ , $gng^{-1}\in N$ .
2. Por cada $g\in G$ , $gNg^{-1}\subseteq N$ .
3. Por cada $g\in G$ , $gNg^{-1}=N$ .
4. Todo coset izquierdo de $N$ es un coset derecho de $N$ .
5. El producto de dos cosets derechos de $N$ es de nuevo un coset derecho de $N$ .