¿Cómo Hartshorne la definición de grupo de los esquemas de codificar la ley para el elemento neutro?

Question

Hartshorne de la Geometría Algebraica dice

Un esquema de $X$ con un morfismos a otro esquema de $S$ es un esquema de grupo sobre $S$ si hay una sección de $e\colon\;S\to X$ (la identidad) y una de morfismos $\rho\colon\;X\to X$ $S$ (a la inversa) y una de morfismos $\mu\colon\;X\times X\to X$ $S$ (el grupo de operación) tales que

(1) la composición de la $\mu\circ(\operatorname{id}\times\rho)\colon\;X\to X$ es igual a la proyección de $X\to S$, seguido por $e$, y

(2) los dos morfismos $\mu\circ(\mu\times\operatorname{id})$ $\mu\circ(\operatorname{id}\times\mu)$ $X\times X\times X\to X$ son los mismos.

Claramente esas dos demandas que formalizar $\rho$ es un derecho y al revés $\mu$ es asociativa. Sin embargo, echo de menos alguna declaración acerca de la (derecha)la neutralidad de $e$: yo esperaría algo como

Los morfismos $\mu\circ(\operatorname{id}\times e)\circ(X\overset\sim\to X\times_S S)$ es la identidad.

Esto de alguna manera no ya seguir a partir de la citada definición?

Answer 1

Como se ha dicho, no parece funcionar. Por simplicidad set $S = \mathrm{Spec} (k)$.

He aquí un contraejemplo: vamos a $X$ cualquier $k$-variedad, $e : S \to X$ cualquier punto de $X$, e $\rho : X \to X$ cualquier morfismos.

Set $\mu : X \times X \to X$ a ser la constante de morfismos $\mu(x,y) = e$. Esto claramente satisface las propiedades (1) y (2) que aparece (desde $\mu(\mu(x,y),z) = \mu(x,\mu(y,z))\ ( = e)$$\mu(x,\rho(x)) = e$), pero no $X$ un esquema de grupo sobre $\mathrm{Spec}(k)$.

En particular, no la última propiedad que usted señaló, $\mu(e,x) \ne x$.