$\mu$ absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue en $[0, 1]$?

Question

Dicen que tenemos que $\mu$ es una medida de la Borel $\sigma$-álgebra en $[0, 1]$, y para cada $f$ que es un valor real y continuamente diferenciable tenemos$$\left| \int_0^1 f'(x)\,d\mu(x)\right| \le \sqrt{\int_0^1 f(x)^2\,dx}.$$Is $\mu$ absolutely continuous with respect to Lebesgue measure on $[0, 1]$?

Answer 1

Sugerencia/idea: que $0\le a < b\le 1.$ Definir $f$ a ser el modelo lineal por tramos de la función cuya gráfica se conecta a los puntos de $(0,0), (a,0), (b,1),(1,1).$ $f$ no $C^1$ pero creo que muestra el camino. Podemos pensar de $f'$ igual a $0$ $[0,a),$ igual a $1/(b-a)$ $[a,b],$ e igual a $0$ $(b,1].$

$$|\int_0^1 f'\, d\mu| = |\int_{[a,b]} f'\, d\mu| = |\frac{\mu([a,b])}{b-a}| \le (\int_0^1 f^2 )^{1/2} \le 1.$$

Por lo tanto $|\mu([a,b])| \le b-a.$ Esto es cierto para cualquier $a,b$ y por lo tanto muestra $\mu$ es de CA con respecto a la medida de Lebesgue.