Probar que un conjunto no es denso

Question

Deje $A$ ser un conjunto de números reales tales que a $A \subseteq [0,1]$. Estoy teniendo un tiempo difícil probar que $C=\left\{\frac{a+1}{n^2} \colon a \in A, n \in \mathbb{N} \right\}$ es no denso en $[0,1]$. ¿Cómo debo acerca de esto? Sé que tengo que encontrar un intervalo de $(x,y) \subseteq [0,1]$ tal que $C \cap (x,y) = \phi $. He intentado exigentes $\frac{a+1}{n^2}<x$ o $\frac{a+1}{n^2}>y$ por cada $a \in A$$n \in \mathbb{N}$. El problema es que yo no sé nada acerca de $A$. Agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

Si la afirmación es verdadera, creo que sería suficiente para mostrar el resultado de $A=[0,1]$.

Independientemente de ello, creo que el intervalo de $(1/2,1)$ no se cruzan $C$.

Answer 2

Supongamos que $A=[0,1]$. Entonces, usted puede encontrar un conjunto que contiene a $C$. Es decir, para $n=1$, $\frac{A+1}{n^2}=[1,2]$. Para $n=2$, $\frac{A+1}{n^1}=[1/4,1/2]$. Si continúa de esta manera, verás que todos los intervalos son en el rango de $[0,1/4]$. Más exactamente, usted sabe que desde $A\subseteq [0,1]$, se deduce que $$ C\subseteq \cup_{n=1}^\infty [1/n^2,2/n^2]. $$

Por lo tanto, $C$ no se cruzan $(1/2,1)$.

Answer 3

Si $n=1$$\forall a\in A: c\colon= \frac{a+1}{1} \geq 1$, lo $c\notin C$

Si $n\geq2$ es de la siguiente manera $$\forall n\in\mathbb{N}-\{1\} \forall a\in A: \frac{a+1}{n^2}\leq \frac{1+1}{2^2}=\frac{1}{2}$$

Así su conjunto $C$ no se cruzan $\left(0.5, 1\right)$