1 el poder que me

Question

Posibles Duplicados:
¿Cuál es el valor de $1^i$?

Yo estaba pensando, ¿qué sería de 1^yo? Luego hice: $e^{i\pi}=-1\rightarrow e^{i\pi}\cdot e^{i\pi}=e^{2i\pi}=-1\cdot -1=1$ Ahora levanta a la fuerza i: $1^i=(e^{2i\pi})^i=e^{2i^2\pi}=e^{-2\pi}=\frac{1}{e^{2\pi}}$ Es esto correcto?

Answer 1

$$1^i = e^{i\log 1}=e^{i(\log |1|+i\arg 1)}=e^{i(i 2\pi n)}=e^{-2\pi n}$$

Cuando la directora de la rama del logaritmo es dado por $n=0$.

Answer 2

La función de potencia $(x,y)\mapsto x^y$ es, de hecho, se define a través de la exponencial $x\mapsto e^x$, como $x^y:=e^{\log x\cdot y}$ donde $\log$ es la inversa de a $\exp$. Pero, $\exp$ no es inyectiva: es periódica por $2\pi i$, por lo tanto el $\log$ no es única, sólo hasta el $+k2\pi i$ algunos $k\in\mathbb Z$. Por eso, $1^i$ tiene una cantidad infinita de valores: $$1^i=e^{(2k\pi i)i} = e^{-2k\pi} $$ Asimismo, para $i^i$. Puedes encontrar todos sus valores?