La integración de $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\sin^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx$ ??

Question

Yo era la solución de la integración de la inversa de la función trigonométrica y se enfrentó a una pregunta que me resulta difícil de entender. Necesito encontrar la definitiva integración de esta función.

$$\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\sin^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx$$

Traté de usar el método de reposición por

$$u= \sin^{-1}(x)$$

y recibiendo $\dfrac{du}{dx}= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

y $dx= du(\sqrt{1-x^2})$

pero cuando me sustituir en la función, que no tiene ningún sentido. Aquí es donde me quedé atrapado (ni siquiera sé si lo que hice en el camino correcto o no..)

estoy haciendo lo correcto? Debo utilizar otro método de aproximación a la respuesta? (Lo siento si esta pregunta es la duplicación, no pude encontrar una respuesta adecuada..)

Answer 1

$$ \int_0^{1/2} \underbrace{(\sin^{-1} x)}_{u} \underbrace{\left( \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \right)}_{du} = \int u\,du $$

Al $x=0$ $u=0$ e al$x=1/2$$u=\pi/6$, por lo que realmente conseguir $$ \int_0^{\pi/6} u\,du. $$

Answer 2

Deje $y=\arcsin x$,$x=\sin y\;\Rightarrow\;dx=\cos y\ dy=\sqrt{1-x^2}\ dy$, luego $$ \begin{align} \require{cancel}\int_{x=0}^{\Large\frac12}\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx&=\int_{x=0}^{\Large\frac12}\frac{y}{\cancel{\sqrt{1-x^2}}}\cdot\cancel{\sqrt{1-x^2}}\ dy\\ &=\int_{x=0}^{\Large\frac12} y\ dy\\ &=\left.\frac12y^2\right|_{x=0}^{\Large\frac12}\\ &=\frac12\arcsin^2\left(\frac12\right)-\frac12\arcsin^2\left(0\right)\\ &=\large\color{blue}{\frac{\pi^2}{72}}. \end{align} $$

Answer 3

Aviso de la derivada de $\mathrm{Arcsin} \,x$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, por lo tanto su integrando es de la forma$u u'$$u=\mathrm{Arcsin}\,x$, y una primitiva es $u^2/2$. Así

$$\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{Arcsin}\, x}{\sqrt{1-x^2}} dx= \frac12\left[\mathrm{Arcsin}^2\,x\right]_0^{1/2}=\frac12\mathrm{Arcsin}^2\,\frac12=\frac{\pi^2}{72}$$