Elementales de Fila/Columna y Operaciones de Cambio de Base

Question

Deje $V$ $W$ ser finito-dimensional espacios vectoriales y deje $T:V \rightarrow W$ ser una transformación lineal entre ellos. He leído que

1. La realización de una escuela primaria de operación de filas en la matriz que representa a $T$ es equivalente a realizar un cambio de base en el rango de $T$, y

2. La realización de una primaria de la columna de operación en la matriz que representa a $T$ es equivalente a realizar un cambio de base en el dominio de $T$

Sin duda, este es un lugar formulación vaga, pero es todo lo que tengo. Mi pregunta es: ¿alguien Puede explicar o proporcionar una referencia, una declaración precisa de la relación entre el cambio de la base de operaciones de primaria y de matrices como se describe anteriormente?

Answer 1

SUGERENCIA: Deja de ser $\{v_{1}, \dots , v_{n} \}$ base $V$ $\{w_{1}, \dots , w_{m} \}$ base $W$. Si una columna de la matriz es $^{T}(a_{1i},a_{2i} \dots, a_{mi})$ significa que $T(v_{i}) = a_{1i}w_{1} + a_{2i}w_{2}\dots + a_{mi}w_{m}$, de modo que, por ejemplo, el intercambio de $\{w_{1},w_{2}, \dots , w_{m} \}$ $\{w_{2},w_{1}, \dots , w_{m} \}$ va a transformar la columna de $^{T}(a_{2i},a_{1i} \dots, a_{mi})$ será $\forall i$. De esta manera, se han intercambiado las dos primeras filas de la matriz.

Answer 2

Dos ejemplos más, con la misma notación como Thomas.

Si se multiplica el $i$-ésima fila de a $\lambda \neq 0$, la matriz resultante puede ser pensado como la matriz asociada a $T$ así, pero ahora la base en el rango de $T$$w_1, \dots , \frac{1}{\lambda} w_i , \dots , w_m$.

Si se agrega el $i$-ésima columna de a $j$-ésima columna, ahora la base en el dominio de $T$$v_1, \dots , v_i , \dots , v_i + v_j , \dots , v_n$.

Los más difíciles caso es lo que sucede cuando usted añada $i$-ésima fila de a $j$-ésima fila. :-)

Answer 3

Esta pregunta es de un año de edad, pero en caso de que alguien todavía está interesado, que me dio las "recetas" en respuesta a Operadores Lineales, Matrices Representativas y de Cambio de Base .