Digamos que tenemos $x^2=25$ Así que tenemos dos raíces reales, es decir $+5$ y $-5$ .
Pero si tuviéramos que diferenciar en ambos lados con respecto a $x$ tendremos la ecuación $2x=0$ que nos da la única raíz como $x=0$ .
Entonces, ¿el hecho de diferenciar en ambos lados de una ecuación la altera? Si lo hace, entonces ¿cómo lo hacemos convenientemente en la integración por sustituciones?
Si no es así, ¿qué es exactamente lo que está pasando aquí?
Si tomamos $x^2 = 25$ como se ha dado, entonces es de hecho cierto que
$$ 2x \, \mathrm{d}x = 0 $$
su error es la suposición de que esto implica $2x = 0$ entre las alternativas es que es $\mathrm{d}x$ que se desvanece, y en consecuencia no tiene sentido tomar el "derivado con respecto a $x$ ", por razones similares a las que no tiene sentido dividir por cero.
Estás acostumbrado a hacer cálculos en escenarios donde las variables tienen espacio para variar, pero no es el caso aquí: todo el dominio sobre el cual $x$ es el conjunto de dimensiones cero que consiste en los dos puntos $\pm 5$ .
El cálculo de dimensión cero es degenerado y bastante aburrido; las variables no tienen espacio para variar continuamente, y por lo tanto todo es (localmente) constante y $\mathrm{d}u = 0$ no importa lo que pase $u$ es.
Este tipo de razonamiento es más útil en la dimensión superior; por ejemplo, dos variables relacionadas por una ecuación (como se tiene cuando se hace una sustitución integral) no es degenerado; de hecho, encaja muy bien en el marco de cálculo de una sola variable.
Puedes hacer más que $u$ sustituciones también; hay otros tipos de cosas algebraicas y geométricas que se pueden hacer. Por ejemplo, para trabajar en el círculo de la unidad, podemos dar por sentado que las dos variables dependientes $x$ y $y$ satisfacer
$$ x^2 + y^2 = 1 $$
de lo cual inferimos que
$$ 2x \, \mathrm{d}x + 2y \, \mathrm{d}y = 0 $$
que tiene varios contenidos algebraicos y geométricos. Por ejemplo, podemos resolver para
$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{x}{y} $$
o podemos determinar rápidamente la línea tangente en un punto; por ejemplo, la línea tangente a $(0.6, 0.8)$ satisface $1.2 \mathrm{d}x + 1.6 \mathrm{d}y = 0$ . Como la línea tangente varía de la misma manera que el círculo en un punto, la línea tangente debe tener la forma $1.2 x + 1.6 y = c$ por alguna constante $c$ . Conectar el punto dado da $1.2 x + 1.6 y = 2$ .
(trama generada por este comando de wolframio alfa )
Depende de lo que quieras decir cuando escribas $$ x^2 = 25. $$ Si $x$ es un número real, entonces la afirmación " $x^2 = 25$ " significa simplemente lo que la mayoría de la gente entiende: la igualdad entre dos números reales. Está implícito que $x$ es un número real también. La noción de diferenciar un número real (con respecto a ... ¿nada?) no se define comúnmente y debe considerarse inválida.
Si usas " $x^2$ " como una abreviatura de la función $x \mapsto x^2$ y $25$ como una abreviatura de la función $x \mapsto 25$ y luego la afirmación $x^2 = 25$ " significaría que las dos funciones son iguales. (Dos funciones $f, g: \mathbb R \to \mathbb R$ son igual si y sólo si $f(x) = g(x)$ para todos $x \in \mathbb R$ .) Bajo este supuesto, la diferenciación (con respecto a la única variable) parece un concepto válido. El hecho de que produzca una declaración "verdadera" o no es una cuestión aparte. En este ejemplo en particular, la afirmación inicial es falsa, por lo que no es una sorpresa que la conclusión $x = 0$ (que dice que la función de identidad $x \mapsto x$ es igual a la función cero $x \mapsto 0$ ) tampoco tiene sentido.
Creo que en realidad se puede fabricar algún contexto en el que $x^2 = 25$ tiene sentido tanto antes como después de la diferenciación. Por ejemplo, si $x$ es el nombre de una función $x: \mathbb R \to \mathbb R$ , $25$ representa la función constante $y \mapsto 25$ y $x^2$ representa la función $x^2: y \mapsto x(y)^2$ entonces la declaración " $x^2 = 25$ " afirma que la función $x^2$ es igual a la función $25$ . Diferenciar esta ecuación daría como resultado $2x x'= 0$ con lo que en realidad me refiero a la función $y \mapsto 2 x(y) x'(y)$ y la función $y \mapsto 0$ son iguales. (Esto sugiere que $x$ debe ser una función constante si es diferenciable).
$f(x) = 25$ es una declaración sobre un valor de la función $f$ . Ciertamente no podemos concluir de esto que $f'(x) = 0$ ya que un valor no nos dice nada sobre el gradiente de $f$ en $x$ o en cualquier otro lugar.
De manera similar, desde $x^2 = 25$ solo no podemos deducir nada sobre el gradiente de la función "al cuadrado" en $x$ y por lo tanto no podemos usar el hecho de que sabemos que este gradiente es $2x$ para deducir algo sobre el valor de $2x$ .
Por otra parte, si dos funciones son iguales en todas partes, entonces ciertamente podemos diferenciar ambos lados y (debido al teorema que dice que si una función tiene una derivada, entonces tiene una única derivada) deducir que las funciones resultantes son iguales en todas partes. $x^2 = 25$ no es una declaración sobre dos funciones de $x$ siendo iguales en todas partes, así que no tenemos derecho por esta lógica a diferenciar ambos lados por $x$ . Si tratamos de interpretar $x^2 = 25$ como una igualdad funcional, entonces llegamos a la interpretación, "la función que mapea $x$ a $x^2$ es la misma función que la función que mapea $x$ a $25$ ". Ahora, eso es una declaración de que las funciones son iguales en todas partes, pero es falso.
Cuando integramos por sustitución, la sustitución es una igualdad de dos funciones en todas partes (o al menos en todo el rango de la integración), por lo que tenemos mucho más de lo que tendríamos si sólo supiéramos que dos funciones coinciden en un solo punto (es decir, se cruzan).
Al igual que la suma o multiplicación algebraica en ambos lados de una ecuación no se puede diferenciar si no hay dependencia funcional entre las cantidades de cada lado de una ecuación dada.
La diferenciación se realiza sobre todo cuando hay que encontrar tasas de cambio, por ejemplo, para encontrar un derivado, para encontrar un extremo o para encontrar la relación con otras variables. También las constantes desaparecerán en la diferenciación.
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